§ 8. Пересечение поверхности второго порядка с прямой.
Вспомним:
поверхностью второго порядка называют
совокупность точек
пространства, координаты которых
удовлетворяют уравнению:
. (1)
Пусть
уравнение прямой задано параметрическими
уравнениями
:
(2)
Из
уравнений (2) следует: точка
принадлежит прямой линии, направление
прямой определяет вектор
=
.
Подставим
значения переменных:
из параметрических уравнений прямой в
каноническое уравнение поверхности.
Получим уравнение 2-го порядка относительно
переменной
: 
,
(3)
где коэффициенты могут быть записаны в виде выражений:
=
;
=
;
=
.
Если в
уравнении (3)
0,
то из него будет найдено два корня
:
,
действительные или комплексные.
Рассмотрим различные случаи:
▫ Корни
действительные различные → прямая
пересекает поверхность в двух точках
и
– это прямая
.
▫ Корни
действительные равные. Это значит, что
прямая и поверхность имеют одну общую
точку. Если поверхность замкнутая, как
эллипсоид, то имеем касание прямой и
поверхности – это прямая
.
Если
поверхность типа цилиндр или однополостный
гиперболоид, то возможно прямая
есть прямолинейная образующая (тема
рассмотрена раньше!).
Если поверхность типа гиперболический параболоид, то возможна одна точка пересечения прямой и поверхности (без касания), но возможно и касание.
Отдельно
выделим совпадение
для случаев конуса и пересекающихся
плоскостей:
|
|
|
Из рисунка вполне понятны возможные ситуации при пересечении конических поверхностей и плоскостей.
▫ Корни
комплексные сопряжённые, то прямая и
поверхность не имеют общих точек. Ещё
говорят, что точки пересечения мнимые.
Исследуем
некоторые частные случаи уравнения:
.
1*.
Пусть
0.
В этом случае возможны принципиально
различные варианты:
▫ Если
=0
и
0,
то по теореме Виета имеем:
0
и
+
=0,
что равносильно равенству
;
это значит, что точка
является серединой хорды, имеющей
направление
=
.
▫ Если
=0
и
0,
то по
=0;
это значит, что точка
является одной из точек пересечения
прямой с поверхностью.
▫ Если
=
=0,
то по
=
=0;
это значит, что прямая линия имеет с
поверхностью две совпавшие общие точки.
2*.
Пусть
=0.
В этом случае говорят, что прямая линия
имеет относительно поверхности
асимптотическое
направление.
Кроме того:
▫ Если
0,
то уравнение имеет вид:
.
В этом случае прямая линия имеет с
поверхностью единственную общую точку.
▫ Если
=0
и
0,
то уравнение имеет вид:
,
что невозможно с учётом принятых условий.
В этом случае прямая линия не имеет с
поверхностью общих точек.
▫ Если
=
=0,
то уравнение:
удовлетворяется при любых значениях
.
В этом случае прямая линия является
прямолинейной образующей поверхности.
☺☺
Пример 6–18:
Найти точки пересечения поверхности
эллипсоида:
и прямой линии
:
.
Решение:
1). Запишем
координаты прямой
:
,
,
.
2).
Подставим эти координаты в уравнение
заданной поверхности. Легко получаем:
.
Корни
=0,
=1
– действительные и различные.
3).
Применяя результаты исследования 1*,
получаем: точка
=
=
прямой линии совпадает с одной из точек
пересечения. Вторая точка легко
вычисляется: используя
=1,
определяем
=
.
Ответ: точки
пересечения:
=
=
и
=
.
☻