Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛА и АГ пособие / АГ-2011-Глава-6-2.doc
Скачиваний:
343
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
2.01 Mб
Скачать

§ 7. Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.

Поверхностью второго порядка называется совокупность точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению:

. (1)

Преобразованием прямоугольных координат (выполняя вполне очевидные операции из алгебры) получили для поверхностей 2-го порядка уравнение вида:

. (2)

Получение аналитических выражений для простейших поверхностей 2-го порядка, а также знакомство с их пространственными рисунками позволяет вполне целенаправленно приступить к выделению из выражения (2) всех возможных случаев.

1). Пусть . Применяя выделение полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, приведем уравнение (2) к виду:

, и далее, в зависимости от значения : (3)

Замечание: в уравнении (3) переменные записаны без штрихов, чтобы дальнейшие записи были проще по форме!

а) если , то ; б) если , то . (4)

Уравнение (4) в зависимости от значений параметров могут дать подробно рассмотренный ранее набор поверхностей 2-го порядка – таблица 1.

Таблица 1

s1

s2

s3

Каноническое уравнение поверхности

Название поверхности

1

±

±

±

Эллипсоид

2

±

±

±

±

Мнимый эллипсоид

3

±

±

±

0

Точка или мнимая коническая поверхность

4

±

±

Однополостный гиперболоид

5

±

±

±

Двухполостный гиперболоид

6

±

±

0

Коническая поверхность

Замечание: указанные в таблице мнимые поверхности не могут быть представлены в виде рисунка, но их выделение полезно для классификации!

2). Пусть один из коэффициентов ,,, уравнения (2) равен нулю, например =0 и . Применяя выделение полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, приведем (2) к виду:

, (5)

Уравнение (5) определяет эллиптический параболоид, если , имеют одинаковые знаки, и гиперболический параболоид, если знаки , различные.

Замечание: в уравнении (5) переменные записаны без штрихов, чтобы дальнейшие записи были проще по форме!

3). Пусть один из коэффициентов ,,, уравнения (2) равен нулю, например =0, и . Применяя выделение полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, приведем (2) к виду:

, и далее, в зависимости от значения ; (6)

а) если , то ; б) если , то . (7)

Замечание: в уравнениях (6) и (6) переменные записаны без штрихов, чтобы дальнейшие записи были проще по форме!

Уравнения (7) в зависимости от значений параметров могут дать подробно рассмотренный ранее набор поверхностей 2-го порядка – таблица 2.

Таблица 2

s1

s2

Каноническое уравнение поверхности

Название поверхности

1

±

±

Эллиптический цилиндр

2

±

±

±

Мнимый эллиптический цилиндр

3

±

±

0

Пара мнимых плоскостей с общей действительной прямой

4

±

+ или

Гиперболический цилиндр

5

±

0

Пара пересекающихся плоскостей

Замечание: указанные в таблице мнимые поверхности не могут быть представлены в виде рисунка, но их линией пересечения является ось !

4). Пусть два из коэффициентов ,,, уравнения (2) равны нулю, например: ,=0 , , но, по крайней мере, один из коэффициентов при первой степени или не равен нулю, то есть .

В этом случае уравнение (2) преобразуется в зависимости от значений параметров , по-разному.

Пусть, например, . Применяя выделение полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, приведем (2) к виду:

. (8)

Если к уравнению (8) применить еще преобразование поворота системы координат вокруг оси по формулам: , , ,

получим следующее уравнение поверхности:

параболический цилиндр. (9)

5). Пусть два из коэффициентов ,,, уравнения (2) равны нулю, например: ,=0, , а также и при первой степени и . Применяя выделение полного квадрата для переменной , приведем (2) к виду: . (10)

Уравнение (10), в зависимости от значений параметров, определяет:

а) если – пара действительных параллельных плоскостей; (11)

б) если – пара мнимых параллельных плоскостей; (12)

в) если – пара совпавших плоскостей. (13)

Итак, общее уравнение (2), в зависимости от исходных значений коэффициентов-параметров, определяет 17 различных видов поверхностей 2-го порядка!

Замечания: 1). Теория поверхностей 2-го порядка великолепно развита и имеет очень удобные приемы получения из общего уравнения канонических уравнений, причем с определением перехода от исходной системы координат к конечной системе.

2). В разделе линейной алгебры: «Теория квадратичных форм» также будут рассмотрены способы приведения общей формы (1) уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду!