
- •§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •§ 6. Изучение поверхностей 2-го порядка «методом сечений».
- •§ 7. Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.
- •§ 8. Пересечение поверхности второго порядка с прямой.
- •§ 9. Обобщающие примеры по теме: «Поверхности 2-го порядка».
§ 7. Приведение общего уравнения поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.
Поверхностью
второго порядка называется совокупность
точек пространства, координаты которых
удовлетворяют уравнению:
. (1)
Преобразованием прямоугольных координат (выполняя вполне очевидные операции из алгебры) получили для поверхностей 2-го порядка уравнение вида:
. (2)
Получение аналитических выражений для простейших поверхностей 2-го порядка, а также знакомство с их пространственными рисунками позволяет вполне целенаправленно приступить к выделению из выражения (2) всех возможных случаев.
1). Пусть
.
Применяя выделение
полного квадрата
для переменных
,
затем преобразование координат
параллельный
перенос,
приведем уравнение (2) к виду:
,
и далее, в зависимости от значения
: (3)
Замечание:
в уравнении (3) переменные
записаны без штрихов, чтобы дальнейшие
записи были проще по форме!
а) если
,
то
;
б) если
,
то
. (4)
Уравнение (4) в зависимости от значений параметров могут дать подробно рассмотренный ранее набор поверхностей 2-го порядка – таблица 1.
Таблица 1
|
s1 |
s2 |
s3 |
|
Каноническое уравнение поверхности |
Название поверхности |
1 |
± |
± |
± |
|
|
Эллипсоид |
2 |
± |
± |
± |
± |
|
Мнимый эллипсоид |
3 |
± |
± |
± |
0 |
|
Точка или мнимая коническая поверхность |
4 |
± |
± |
|
|
|
Однополостный гиперболоид |
5 |
± |
± |
|
± |
|
Двухполостный гиперболоид |
6 |
± |
± |
|
0 |
|
Коническая поверхность |
Замечание: указанные в таблице мнимые поверхности не могут быть представлены в виде рисунка, но их выделение полезно для классификации!
2). Пусть
один
из коэффициентов
,
,
,
уравнения (2) равен нулю, например
=0
и
.
Применяя выделение
полного квадрата
для переменных
,
затем преобразование координат
параллельный
перенос,
приведем (2) к виду:
, (5)
Уравнение
(5) определяет эллиптический параболоид,
если
,
имеют одинаковые знаки, и гиперболический
параболоид, если знаки
,
различные.
Замечание:
в уравнении (5) переменные
записаны без штрихов, чтобы дальнейшие
записи были проще по форме!
3). Пусть
один
из коэффициентов
,
,
,
уравнения (2) равен нулю, например
=0,
и
.
Применяя выделение
полного квадрата
для переменных
,
затем преобразование координат
параллельный
перенос,
приведем (2) к виду:
,
и далее, в зависимости от значения
; (6)
а) если
,
то
;
б) если
,
то
. (7)
Замечание:
в уравнениях (6) и (6) переменные
записаны без штрихов, чтобы дальнейшие
записи были проще по форме!
Уравнения (7) в зависимости от значений параметров могут дать подробно рассмотренный ранее набор поверхностей 2-го порядка – таблица 2.
Таблица 2
-
s1
s2
Каноническое уравнение поверхности
Название поверхности
1
±
±
Эллиптический цилиндр
2
±
±
±
Мнимый эллиптический цилиндр
3
±
±
0
Пара мнимых плоскостей с общей действительной прямой
4
±
+ или
–
Гиперболический цилиндр
5
±
0
Пара пересекающихся плоскостей
Замечание:
указанные в таблице мнимые
поверхности не могут быть представлены
в виде рисунка, но их линией пересечения
является ось
!
4). Пусть
два
из коэффициентов
,
,
,
уравнения (2) равны нулю, например:
,
=0
,
,
но, по крайней мере, один из коэффициентов
при первой степени
или
не
равен нулю, то есть
.
В этом
случае уравнение (2) преобразуется в
зависимости от значений параметров
,
по-разному.
Пусть,
например,
.
Применяя выделение
полного квадрата
для переменных
,
затем преобразование координат
параллельный
перенос,
приведем (2) к виду:
. (8)
Если к
уравнению (8) применить еще преобразование
поворота системы координат
вокруг оси
по
формулам:
,
,
,
получим следующее уравнение поверхности:
→параболический
цилиндр. (9)
5). Пусть
два
из коэффициентов
,
,
,
уравнения (2) равны нулю, например:
,
=0,
,
а также
и
при первой степени
и
.
Применяя выделение
полного квадрата
для переменной
,
приведем (2) к виду:
. (10)
Уравнение (10), в зависимости от значений параметров, определяет:
а) если
– пара действительных параллельных
плоскостей; (11)
б) если
– пара мнимых параллельных плоскостей; (12)
в) если
– пара совпавших плоскостей. (13)
Итак, общее уравнение (2), в зависимости от исходных значений коэффициентов-параметров, определяет 17 различных видов поверхностей 2-го порядка!
Замечания: 1). Теория поверхностей 2-го порядка великолепно развита и имеет очень удобные приемы получения из общего уравнения канонических уравнений, причем с определением перехода от исходной системы координат к конечной системе.
2). В разделе линейной алгебры: «Теория квадратичных форм» также будут рассмотрены способы приведения общей формы (1) уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду!