§ 6. Изучение поверхностей 2-го порядка «методом сечений».

Метод сечений, может иметь вспомогательное применение, когда возникает необходимость уточнить форму конкретной поверхности. Но важнее возможности этого метода при исследовании теоретических вопросов в применении к множеству кривых линий и поверхностей 2-го порядка.

1⁰. Пусть требуется уточнить форму уже известной нам поверхности: . Воспользуемся методом сечений.

Сечение поверхности плоскостью = 0 дает линию эллипса, расположенную в этой плоскости. Сечения плоскостями = 0 и = 0 также дают эллипсы. Это значит, что заданная поверхность определяет эллипсоид. Если два из трёх параметров равны, то имеем поверхности вращения. Если , то поверхность есть шар.

2⁰. Пусть имеем уравнение поверхности: . Сечение этой поверхности плоскостями = 0 или = 0 дает две пересекающиеся прямые, а сечение плоскостью = const дает эллипс. Это значит, что заданная поверхность есть коническая поверхность. Если , то имеем коническую поверхность вращения.

При изучении кривых 2-го порядка отмечалась их общая природа по признаку конических сечений. Исследование конических сечений можно было бы полностью доверить средствам геометрическим. Интересно получить результат, используя только средства аналитической геометрии: получим ещё одно подтверждение широких возможностей изучаемой науки!

Пусть задан конус: . Покажем, что в сечении поверхности конуса плоскостью могут быть получены: окружность, эллипс, гипербола, парабола или пара пересекающихся прямых линий.

Из заданного уравнения конуса следует: он получен вращением линии второго порядка, состоящей из двух пересекающихся прямых: вокруг оси симметрии . Это круговой конус.

На рисунке не показана система координат, но имеется в виду, что ось совпадает с осью координат системы .

В соответствии с исходными данными: =. Угол пересечения плоскости с осью конуса определим угловым коэффициентом: =·, где коэффициент реализует сравнение угла сечения с углом раствора конуса.

Это значит: причём, 0≤≤.

Рассмотрим все возможные случаи расположения секущей плоскости , относительно конической поверхности.

Окружность. Пусть =0, то есть =0. Это значит, что плоскость определяется выражением: =. Решим систему уравнений: Получаем линию: , или: = – каноническое уравнение окружности.

Эллипс. Пусть <, то есть <1. Это значит, что плоскость можно определить выражением: =–. Решим систему уравнений: Подставляя =– в первое уравнение записанной системы, получаем линию: , или: , или: . Так как <1, то последнее после применения тождественных преобразований и переноса начала координат может быть приведено к виду: , или к виду: – каноническое уравнение эллипса.

Гипербола. Пусть >, то есть >1. Это значит, что плоскость можно определить выражением: =–. Решим систему уравнений: Подставляя =– в первое уравнение системы, получаем линию: , или: , или: . Так как >1, то последнее после применения тождественных преобразований и переноса начала координат может быть приведено к виду: , или к виду: – каноническое уравнение гиперболы.

Парабола. Пусть =, то есть =1. Это значит, что плоскость можно определить выражением: =–. Решим систему уравнений: Подставляя =– в первое уравнение системы, получаем линию: , или: , или: . Последнее после применения тождественных преобразований и переноса начала координат приводится к виду: – каноническое уравнение параболы.

Пара пересекающихся прямых. Пусть =, причём плоскость можно определить выражением: . Решим систему уравнений: Подставляя в первое уравнение системы, получаем линию: , или: , или: – пара пересекающихся прямых линий.

Итак, мы подтвердили очень важное свойство кривых 2-го порядка: каждая из них может быть получена как результат конических сечений!