§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Линейное пространство -векторов»
Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Определители 2-го и 3-го порядков». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.
☺ ☻ ☺
Пример
1–637:
Найти вектор
из уравнения:
+2
+3
+4
=0,
если
=(5,-8,-1,2),
=(2,-1,4,-3),
=(-3,2,-5,4).
Решение:
1).
Запишем уравнение в виде:
–4
=
+2
+3
=(5,-8,-1,2)+2(2,-1,4,-3)+3(-3,2,-5,4)=(0,-4,-8,8).
2).
Разделив полученное равенство на (-4),
получим:
=
(0,1,2,-2).
Ответ:
=(0,1,2,-2).
Пример
2–611:Найти ранг матрицы:
методом окаймляющих миноров.
Решение:
1). Так как в матрице
есть элементы не равные нулю, то ранг
матрицы
.
Окаймление любого из них приводит к
минору 2-го порядка.
2). Не равных нулю
миноров 2-го порядка несколько. Это
значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в правом верхнем
углу:
-
4
3
-5
2
3
8
6
-7
4
2
1
4
3
-8
2
7
2
4
3
1
2
-5
3
8
6
-1
4
-6
3
2
1
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=(–5)
–(–7)
+(–8)
=m1·(24)–h1·(8)+g1·(–8)=
(–5)·(24)–(–7)·(8)+(–8)·(–8)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
числа:(7),
(–14),
(–7)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(24)–h2·(8)+g2·(–8)=
3·(24)–6·(8)+3·(–8)=0;
=
=
m3·(24)–h3·(8)+g3·(–8)=
4·(24)–8·(8)+4·(–8)=0;
=
=(–5)
–(–7)
+
=m1·(–24)–h1·(–16)+g1·(–8)=(–5)·(–24)–(–7)·(–16)+1·(–8)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам 
,
числа: (–24),
(–16),
(–8)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–24)–h2·(–16)+g2·(–8)=3·(–24)–6·(–16)+3·(–8)=0.
=
=
m3·(–24)–h3·(–16)+g3·(–8)=4·(–24)–8·(–16)+4·(–8)=0.
=
=(–5)
–(–7)
+(–1)
=m1·(–32)–h1·(–24)+g1·(–8)=
=(–5)·(–32)–(–7)·(–24)+(–1)·(–8)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минору 
,
числа: (–28),
(–24),
(–8)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–32)–h2·(–24)+g2·(–8)=
3·(–32)–6·(–24)+6·(–8)=0.
=
=
m3·(–32)–h3·(–24)+g3·(–8)=
4·(–32)–8·(–24)+8·(–8)=0.
4).
Так как все окаймляющие миноры 3-го
порядка равны нулю, то
.
Ответ:
=
2.
Пример
3–612:Найти значения 
,
при которых матрица:
имеет наименьший ранг.
Решение:
1). Так как в матрице
есть элементы не равные нулю, то ранг
матрицы
.
Окаймление любого из них приводит к
минору 2-го порядка.
2). Не равных нулю
миноров 2-го порядка несколько. Это
значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в правом верхнем
углу:
-
3
1
1
4
λ
4
10
1
1
1
7
17
3
2
2
2
4
3
2
1
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=1
–4
+7
=m1·(13)–h1·(–65)+g1·(–39)=
1·(13)–
4·(–65)+
7·(–39)
=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минору
,
числа:(7),
(–14),
(–7)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(13)–h2·(–65)+g2·(–39)=
=3·(13)
– 
·(–65)+1·
(–39) =65
;
=
=1
–4
+2
=m1·(26)–h1·(–13)+g1·(–39)
=1·(26)–
4·(
–13)+
2·(–39)
=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минору 
,
числа: (21),
(–14),
(–7)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(26)–h2·(–13)+g2·(–39)
=3· (26)
–
·
(–13)+2·
(–39) =13
.
4). Видим, что при
=0
все миноры 3-го порядка равны нулю и ранг
=
2. Это и есть минимальный ранг матрицы.
При других значениях параметра можно
обеспечить ранги 3 или 4.
Ответ:
=0.
Пример
4–619:Найти ранг матрицы:
=
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
=(1)→
=(2)→
=
(3) →
=(4)→
.
Операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·3; [R1] делим на число 25. (2): при помощи числа 1 обнуляем остальные элементы [R1]. (3): [R4]–[R2]; [R4]–[R3]. (4): при помощи числа 1 обнуляем остальные элементы [R2] и [R3].
2). Видим(!): ранг матрицы равен 3.
Ответ:
=
3.
Пример
5–622:Найти ранг матрицы:
=
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
=(1)→
=(2)→
=(3)
→
.
Операции: (1): [C5]+[C2]–[C4]; [C4]+[C1]+[C2]; [C3]–[C1]+[C2] . (2): [C1]–[C2]·3. 3): делим [R5] на 13 и при помощи числа 1 обнуляем элементы [C2]; делим [R4] на 67 и при помощи числа 1 обнуляем элементы [C1].
2). Видим(!): ранг матрицы равен 2.
Ответ:
=
2.
Пример
6–641:Выяснить, является
ли система векторов линейно зависимой
или линейно независимой:
=
(2, –3, 1);
=
(3, –1, 5);
=
(1, –4, 3).
Решение:
Способ-1:
1). Запишем систему
векторов в виде матрицы и применим к
ней любой из способов вычисления ранга:
=
.
2). Преобразуем матрицу при помощи элементарных преобразований.
=(1)→
=(2)→
=(3)→
=(4)→
Операции: (1): [R2]+[R1]·2; [R1]–[R3]; [R3]–[R2]. (2): [R3] делим на 5; [R3]+[R1]·3; [C4]–[C2]; при помощи 1 обнуляем элементы [C3]. (3): [R2]–[R1]; [R2] делим на 7. (3): [R1]+[R2]·2.
3). Видим:
=3.
Это значит, что система векторов
независима.
Способ-2:
1). Если векторы:
,
x2,x3зависимы, то среди чисел
,
,
найдется хотя бы одно не равное нулю в
выражении:
+
+
=
0.
2). Учитывая операции умножения вектора на число, суммы векторов и равенства векторов, получим систему однородных уравнений:
3). Определитель
этой системы: d=
=
3≠0 → система имеет единственное нулевое
решение. Это значит: векторыx1,
x2,x3независимы.
Ответ: система векторов независима.
Пример
7–666:
Имеем векторы:
=(4,4,3);
=(7,2,1);
=(4,1,6);
=(5,9,
).Найти все
значения 
,
при которыхвектор
линейно выражается через векторы:
,
,
.
Решение:
1). Вектор
линейно выражается через векторы:
,
,
,
если эти векторы независимы.
2). Из векторов
,
,
составим матрицу:
=
и
вычислим её определитель:
=
=(1)=
=(2)=1·
·8·
0.
Операции: (1): [R2]–[R1]; [R1]–[R3]; [R3]–[R1]·3;. (2): вычисляем определитель разложением по столбцу-1.
3). Видим: ранг
матрицы равен 3. Векторы:
,
,
–
база 3-мерного пространства, и любой
3-мерый вектор может быть выражен через
него, том числе вектор
при любом
.
Ответ:при любом
.
Пример
8–673:Найти все базы
системы векторов:
Решение:
1). В
системевекторов:
,
,
легко обнаруживается зависимость:
.
2). Это значит, базой
могут служить только пары векторов:
(
,
);
(
,
).
Ответ:все базы заданной системы векторов:
(
,
);
(
,
).
Пример
9–679:
Имеемсистему
векторов:
Найти какую-нибудь
базу этой системы векторов и все векторы
системы, не входящие в эту базу, выразить
через векторы базы.
Решение:
1). Для заданной системы векторов составим матрицу и выделим базовый минор. Выделим для окаймления минор, не равен нулю, расположенный в левом верхнем углу:
-
5
2
-3
1
4
1
-2
3
1
1
1
-1
-2
2
3
4
-1
2
1
2
2). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=(–3)
–(–2)
+(–1)
=m1·(3)–h1·(3)+g1·(–3)=(–3)·(3)–(–2)·(3)+(–1)·(–3)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минору
числа:(3),
(3),
(–3)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(3)–h2·(3)+g2·(–3)=
1·(3)–3·(3)+(–2)·(–3)=0;
=
=(–3)
–(–2)
+(–1)
=m1·(13)–h1·(14)+g1·(–3)==(–3)·(13)–(–2)·(14)+(–1)·(–3)
0;
3). Выделим для
окаймления минор
0:
-
5
2
-3
1
4
1
-2
3
3
4
-1
2
1
1
1
-1
-2
1
4). Окаймляющий
минор
–
единственный. Вычисляем определитель
4-го порядка:
=
=(1)=
=(2)=–5
=0,
5).
Векторы: 
,
,
можно использовать как базу. Запишем
для вектора
линейную комбинацию векторов
,
,
:
=
+
+
=
·(5,2,-3,1)+
·(4,1,-2,3)+
·(3,4,-1,2)=(1,1,-1,-2),
где величины:
,
,
подлежат вычислению из системы уравнений:
или
эквивалентная:
откуда
вычисляем (любым способом!): 
=1,
=–1,
=0.
6).
Результат: если база –
векторы 
,
,
,
то
=
–
.
Ответ:если база –
векторы 
,
,
,
то
=
–
.
☻
Вопросы для самопроверки:
Что такое n-мерный вектор с действительными компонентами?
Что такое n- вектор?
Как определяется сумма и разность n- векторов?
Каково определяющее свойство противоположного n- вектора?
Что значит умножить n- вектор на число k?
Что такое линейная комбинация n- векторов?
Как определяют линейную зависимость (независимость) n- векторов?
Что значит системы n- векторов эквивалентны?
Что значит система n- векторов максимальная?
Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов в n-мерном пространстве содержат равное число векторов?
Почему любые две максимальные линейно независимые системы n-мерных векторов n-мерного пространства состоят из одного и того же числа векторов?
Почему всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов?
Имеем систему, состоящую из восьми 5-мерныз векторов. Может ли эта система быть зависимой?
Имеем систему, содержащую два нулевых вектора. Может ли эта система быть зависимой?
Что такое ранг системы векторов?
Что такое ранг матрицы?
Как вычисляют ранг системы векторов?
Как вычисляют ранг матрицы?
Возможно ли методом элементарных преобразований выделить в системе векторов максимальную линейно независимую подсистему векторов?
Почему элементарные преобразования матрицы не меняют ранга матрицы?
В прямоугольной матрице 5 строк и 9 столбцов. Какому из чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 может быть равен ранг матрицы?
Число независимых столбцов матрицы равно числу независимых строк. Почему?
В прямоугольной матрице 5 строк и 9 столбцов. Какое максимальное число окаймляющих миноров придется вычислить при нахождении ранга матрицы?
< * * * * * >