§ 3. Ранг системы n- векторов и матрицы.

Для ответа на поставленный вопрос требуется продолжить исследование пространства .

Рассмотрим системы векторов:,,...,, (A)

,,...,. (B)

,,...,. (C)

Если система (B) выражается линейно через систему (А), а система (C) через систему (B), то система (C) линейно выражается через систему (А) – транзитивность понятия: линейно выражается.

Две системы векторов эквивалентны, если каждая из них может быть линейно выражена через другую – транзитивность понятия эквивалентности.

Замечание: если одна из двух эквивалентных между собой систем векторов независима, то не обязательно этим свойством обладает и другая!

Теорема: (6.2)

Если в –мерном векторном пространстве имеем две системы векторов: ,,...,, (A) (А) ,,...,, (B) (B) причем система (А) линейно независима и линейно выражается через систему (B), то число векторов в (А) не больше, чем в (B), то есть ≤ .

►Доказательство. Пусть (А) линейно независима и линейно выражается через (B), но >:

=++ … +,

=++ … +,

. . . . . . . . . . . . . . . . (7)

= + + … +,

где , ; – вещественные числа.

Из коэффициентов уравнений (7) составим -мерные векторы:

= (,,...,),

= (,,...,),

. . . . . . . . . . . . (8)

= (,,...,).

Так как > (по допущению), то, в соответствии с теоремой 6.1, система векторов (8) линейно зависима:

·+·+ …+·=0, (9)

то есть хотя бы один из коэффициентов , ,…, не равен нулю. Из выражений (8) и (9) следует: ++ … +=0,

++ … +=0, (10)

. . . . . . . . . . . . . . .

++ … +=0.

Для удобства использования системы (10) запишем её в компактной форме: =0, j = 1,2,…,. Используя систему векторов (A), составим линейную комбинацию:

·+·+ …+·, (11)

Для удобства, выражение (11) также запишем в компактной форме: и преобразуем:

=(1)==(2)= =(3)=0

Выполнены операции: (1): учтены линейные комбинации (7). (2): меняем порядок суммирования по индексам в двойной сумме. (3): учитываем: =0, j = 1,2,…,.

Последняя запись противоречит линейной независимости системы векторов (А), и значит необходимо: ≤ . ◄

Следствие –1 теоремы 6.2:

– всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов в -мерном пространстве содержат равное число векторов;

– любые две максимальные линейно независимые системы -мерных векторов -мерного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

У нас имеется пример максимальной системы -мерных векторов, состоящей из векторов. Это значит: всякая максимальная линейно независимая система векторов n– мерного пространства состоит из n векторов.

Следующее определение вводит термин, фиксирующий полученный результат и отражающий логику движения к этому результату.

Определение: (6.4)

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы.

Замечание: ещё раз вспомним, что принципиально важно (!) различать понятия:

– -мерное векторное пространство: бесконечное множество различных векторов;

– система -мерных векторов: чаще состоит из конечного числа векторов или является подмножеством векторов -мерного пространства.

Следствие –2 теоремы 6.2:

– пусть имеем две системы -мерных векторов:

,, ...,, (А)

,,...,, (B)

не обязательно линейно независимые, причем ранг системы (А) равен числу , а ранг системы (B) – числу . Если система (А) линейно выражается через систему (B), ≤ .

– если в данной линейно зависимой системе векторов выделены две максимальные линейно независимые подсистемы, то эти подсистемы содержат равное число векторов.

Если в –мерном векторном пространстве выделена максимальная линейно независимая система векторов ,,...,, то, по аналогии с 3-мерным геометрическим пространством, эту систему векторов принять в качестве базы (по-другому: базиса): любой вектор пространства может быть выражен через векторы ,,..., в виде линейной комбинации.

Нами установлены важнейшие понятия линейной алгебры. В аналитической геометрии в 3-мерном векторном пространстве мы имеем вполне удобные средства для решения задачи выделения из данной системы векторов максимального числа линейно независимых векторов (вспомним: коллинеарность и компланарность векторов). Для -мерных векторов простого решения задачи вычисления ранга системы векторов из определения явно не просматривается. Нужны какие-то дополнительные средства.

При изучении алгебры матриц мы рассматривали строки заданной матрицы как векторы, так же относились и к ее столбцам. Но тогда по отношению к строкам-векторам и столбцам-векторам можно отнести вопрос о ранге соответствующих систем векторов!

Определение: (6.5)

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A (то есть число столбцов, входящих в любую подсистему линейно независимых столбцов), называется рангом этой матрицы; обозначение –.

Ранг матрицы можно было бы определить, используя систему ее строк–векторов. Оказывается (будет доказано!) ранг системы строк равен рангу системы столбцов матрицы. Поэтому будем говорить о ранге матрицы, не уточняя, учтена линейная независимость столбцов или строк.

Введем понятие минора для прямоугольной (,) матрицы:

– выберем в матрице A произвольные строк и столбцов;

– определитель -го порядка, составленный из элементов выделенных строк и столбцов, называется минором -го порядка матрицы А.

Теорема: (6.3)

Если все миноры -го порядка матрицы A равны нулю, то равны нулю и все миноры матрицы более высоких порядков.

►Доказательство. Это следует из теоремы Лапласа. Если разложить минор порядка + по любым его строкам, то получим сумму произведений миноров -го порядка на их алгебраические дополнения (соответственно). Так как все миноры -го порядка равны нулю, то и минор порядка + равен нулю. ◄

Теорема: (6.4)

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A порядка (,) равен рангу этой матрицы.

►Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A равен . Пусть такой минор D порядка стоит в левом верхнем углу матрицы и D≠0. Учитывая свойства определителя, можем утверждать, что первые столбцов и строк матрицы A линейно независимы.

Докажем, что всякий столбец- матрицы (<≤) будет линейной комбинацией первых столбцов. Построим для выделенного минора D окаймляющий минор с элементами столбца- и строки-:

=			…
		D
	…			…	…
			…
			…

Определитель равен нулю при любом :

– при > минор имеет порядок (+1), и потому равен нулю (так выбран );

– при ≤ «минор» имеет две равные строки (хотя фактически не является минором матрицы А).

Запишем разложение минора по нижней его строке:

++…++=0, (12)

откуда (учитываем, что D ≠0) получаем равенство:

=––…–, (13)

которое справедливо при всех = 1, 2,…, s , причем его коэффициенты не зависят от значения . Это значит, что весь столбец - матрицы A является суммой ее первых столбцов, взятых с коэффициентами –, j = 1, 2,…, .

Следовательно, в системе столбцов матрицы A найдена максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из r столбцов. Это значит, что ранг матрицы A равен . ◄

Замечание: доказательство теоремы не использует равенство нулю всех миноров (+1) порядка матрицы А, а только те, которые окаймляют данный не равный нулю минор - го порядка D.

Получено правило вычисления ранга матрицы:

– при вычислении ранга матрицы переходят от миноров меньших порядков, к минорам больших порядков;

– если уже найден минор - го порядка не равный нулю, то следует переходить к окаймлению его минором (+1)-го порядка;

– если все окаймляющие миноры (+1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен числу .

Теорема: (6.5)

Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, то есть равно рангу этой матрицы.

►Доказательство. Это следует из равноправия строк и столбцов в любом определителе-миноре! ◄

Следствие: Определитель -го порядка тогда и только тогда равен нулю, если между его строками существует линейная зависимость.

►Доказательство. В одну сторону это было доказано при доказательстве свойств определителей n-го порядка. Пусть известно, что определитель -го порядка равен нулю. Но тогда соответствующая матрица -го порядка, единственный минор -го порядка которой равен нулю, имеет ранг: <. Последнее значит, что строки матрицы линейно зависимы. То же можно сказать о столбцах. ◄

Кроме правила окаймляющих миноров применяют еще правило приведения матрицы к диагональному виду путем элементарных преобразований (не меняют ранга!):

– транспозиция двух строк или столбцов;

– умножение строки (столбца) на число, не равное нулю;

– прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число;

– после получения диагональной формы матрицы число единиц на главной диагонали определяет ранг матрицы.

Замечания: 1) правило приведения матрицы к диагональному виду применяют обычно в тех случаях, когда требуется только определить ранг матрицы: следить за всеми перестановками строк и столбцов неудобно;

2) если столбцы не переставлять (за одними строками следить не так сложно!), а единицы на главной диагонали получать способом уравнивания коэффициентов, то метод вполне удобен для выделения в системе векторов-строк максимальной линейно независимой подсистемы векторов.

Определение: (6.6)

Пусть ранг матрицы A равен –r. Любой, отличный от нуля минор матрицы A порядка r, называют базисным.

Приведённые ниже примеры иллюстрируют все рассмотренные вопросы теории и способы вычисления ранга системы векторов, ранга матрицы, построения векторов в заданном базисе.

☺☺

Пример 6-05: Для векторов: =(4,1,3,-2), =(1,2,-3,2), =(16,9,1,-3) найти линейную комбинацию: 3+5–=.

Решение:

Используя определение суммы (и разности) векторов и умножение вектора на число, запишем: =3(4,1,3,-2)+5(1,2,-3,2)–(16,9,1,-3)=(12,3,9,-6)+(5,10,-15,10) –(16,9,1,-3)=(1,4,-7,7)

Ответ: =(1,4,-7,7).

Пример 6-06:Найти ранг матрицы: A=методом окаймляющих миноров.

Решение:

1). Так как в матрице есть элементы не равные нулю, то ранг матрицы . Окаймление любого из них приводит к минору 2-го порядка.

2). Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу:

	2	-1	3	-2	4
	4	-2	5	1	7
1	2	-1	1	8	2
	3	2	1

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

==3–5+1=m₁·(–54)–h₁·(–36)+g₁·(–18)=3·(–54)–5·(–36)+1·(–18) =0;

Замечание: параметры: m₁, h₁, g₁ изменяются при переходе к минорам ,, числа:(–54), (–36), (–18) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

== m₂·(–54)–h₂·(–36)+g₂·(–18)=(–1)·(–54) –(–2)·(–36)+(–1)·(–18) =0;

== m₃·(–54)–h₃·(–36)+g₃·(–18)=2·(–54) –4·(–36)+2·(–18) =0.

4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то ранг матрицыA равен 2.

Ответ:= 2.

Пример 6-07:Найти ранг матрицы: методом окаймляющих миноров.

Решение:

1). Так как в матрице есть элементы не равные нулю, то ранг матрицы . Окаймление любого из них приводит к минору 2-го порядка.

2). Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в левом верхнем углу:

	1	3	5	-1
	2	-1	-3	4
1	5	1	-1	7
2	7	7	9	1
			1	2

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

==5–(–3)+(–1)=m₁·(7)–h₁·(–14)+g₁·(–7)=5·(7)–(–3)·(–14)+(–1)·(–7)=0;

Замечание: параметры: m₁, h₁, g₁ изменяются при переходе к минору , числа:(7), (–14), (–7) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

== m₂·(7)–h₂·(–14)+g₂·(–7)= (–1)·(7)–4·(–14)+7·(–7)=0;

==5–(–3)+9=m₁·(21)–h₁·(–14)+g₁·(–7)=5·(21)–(–3)·(–14)+9·(–7)=0;

Замечание: параметры: m₁, h₁, g₁ изменяются при переходе к минору , числа: (21), (–14), (–7) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

== m₂·(21)–h₂·(–14)+g₂·(–7)= (–1)·(21) –4·(–14)+1·(–7) ≠0.

4). Так как нашёлся минор 3-го порядка не равный нулю, то ранг . Вычислим определитель:

==(1)=2·=(2)=2·

Операции: (1): [C1]–[C2]; [C3]–[C2]; выносим общий множитель число 2 из [C3]. (2): [R3]–[R2]; [R2]+[R1]; в определителе обнаружено: [R2]=[R3] → =0.

4). Следует: .

Ответ:= 3.

Пример 6-08:Чему равен ранг матрицы: при различных значениях?

Решение:

1). Выделим для окаймления минор 2-го порядка (не равен нулю), расположенный в левом нижнем углу:

1	1	λ	-1	2
	2	-1	λ	5
	1	10	-6	λ
			1	2

2). Вычислим окаймляющие миноры и:

===> 0 при любом.

3). Итак, выделен минор 3-го порядка, не равный нулю при любом . Так как миноров большего порядка нет, то= 3.

Ответ: = 3 при любом.

Пример 6-09:Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1)умножение строки или столбца на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число;

3)перестановка двух строк (столбцов).

Доказать, что элементарные преобразования не меняют рангаматрицы.

Решение:

1). В соответствии с теоремой 6.4 ранг матрицы оценивается минорами матрицы, точнее: фактами равенства и неравенства нулю миноров, то есть определителей.

2). Так как элементарные преобразования не могут превратить определитель не равный нулю в определитель равный нулю, и наоборот, то названные преобразования не могут изменить ранга матрицы.

Замечание: Можно было бы воспользоваться теоремой о равенстве рангов двух эквивалентных систем векторов: названные преобразования переводят заданную систему векторов (строки матрицы или столбцы) в эквивалентную систему векторов!

Ответ:доказано.

Пример 6-10:Найти ранг матрицы: =при помощи элементарных преобразований.

Решение:

1). Преобразуем матрицу при помощи элементарных преобразований.

=(1)→=(2)→=(3)→

Операции: (1): [C4]+[C2]·3; [C5]–[C1]·3; [C1]–[C5]·4. (2): [C3]+[C1]·4; [R1]+[R3]; [R2]+[R3]; при помощи 1 обнуляем элементы [R4]. (3): [C5]+[C1]; [C2]–[C1]·55; делим [C1] на (-3). Завершение очевидно:

, или .

2). Видим: ранг матрицы равен 2.

Ответ:= 2.

Пример 6-11:Для матриц и одинаковой размерности построили матрицу . Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

Решение:

1). Понятие суммы матриц использовано, чтобы подсказать, что используются векторы одного векторного пространства. Тогда матрицуможно рассматривать как подпространство, а матрицукак подпространство.

2). В таком случае задачу можно понимать так: объединяется два подпространства векторов некоторого векторного пространства , причём ранг одного, второго. Требуется оценить ранг суммы подпространств.

3). Но, тогда оценка ранга системы векторов очевидна:.

Ответ: доказано: .

Пример 6-12:Выяснить, является ли система векторов: линейно зависима или линейно независима.

Решение:

1). Запишем систему векторов в виде матрицы и применим к ней любой из способов вычисления ранга: =.

2). Преобразуем матрицу при помощи элементарных преобразований.

=(1)→ =(2)→ =(3)→

Операции: (1): [C2]+[C1]; [C4]–[C1]; [C1]–[C4]·2. (2): [R4]+[R1]·3; [R3]+[R1]·3; [C4]–[C2]; при помощи 1 обнуляем элементы [C3]. (3): [C1]·(–1); [C3] делим на 6, [C4] на (-3), после чего [R4]–[R3].

3). Видим: ранг матрицы равен 3. Это значит, что система векторов зависима.

Замечание: эту задачу можно решить вычислением определителя : если определитель равен нулю, то система зависима, если не равен нулю, то система независима!

Ответ:=3, система векторов зависима.

Пример 6-13: Пусть имеем:Найти все значения , при которыхвектор линейно выражается через векторы:,,.

Решение:

1). Вектор линейно выражается через векторы:,,, если эти векторы независимы.

2). Из векторов ,,составим матрицу:=и вычислим её определитель:

==(1)==(2)=(–1)··8·=8.

Операции: (1): [C2]–[C1]; [R3]–[R2]; [R2]+[R1]·2. (2): вычисляем определитель разложением по столбцу-2.

3). Видим: ранг матрицы равен 3, если . Это и требуется для линейной независимости системы векторов:,,.

Ответ:.

Пример 6-14:Найти все базы системы векторов:

Решение:

1). В системевекторов:,,легко обнаруживается зависимость:. Вектор не выражается через векторы,,.

2). Это значит, что базой могут служить пары векторов: (,); (,); (,).

Ответ:все базы системы: (,); (,); (,).

Пример 6-15: Имеемсистему векторов:Найти какую-нибудь базу этой системы векторов и все векторы системы, не входящие в эту базу, выразить через векторы базы.

Решение:

1). Для заданной системы векторов составим матрицу и выделим базовый минор. Выделим для окаймления минор, не равен нулю, расположенный в левом верхнем углу:

	1	2	3	-4
	2	3	-4	1
1	2	-5	8	-3
2	5	26	-9	-12
3	3	-4	1	2
			1	2

2). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

==3–(–4)+8=m₁·(–16)–h₁·(–9)+g₁·(–1)=3·(–16)–(–4)·(–9)+8·(–1)0;

3). Выделим для окаймления минор 0:

	1	2	3	-4
	2	3	-4	1
	2	-5	8	-3
1	5	26	-9	-12
2	3	-4	1	2
				1

4).Окаймляющие миноры и– определители 4-го порядка. Так как указанные миноры отличаются только строкой-4, то их вычисление рационально провести разложением по строке-4. Это позволит применить единый шаблон вычислений!

==5·–26·+(–9)·–(–12)·,

или: = m₁·(4)–h₁·(–68)+g₁·(76) –q₁·(–92)=5·4–26·(–68)+(–9)·76 –(–12)· (–92)=0;

Замечание: параметры: m₁, h₁, g₁, q₁ изменяются при переходе к минору , числа: (4), (–68), (76), (–92) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

== m₂·(4)–h₂·(–68)+g₂·(76) –q₂·(–92)= 3·4–(–4)·(–68)+1·76 –2· (–92)=0.

5). Векторы: ,,можно использовать как базу. Запишем для векторов,линейные комбинации векторов,,:

= ++=·(1,2,3,-4)+·(2,3,-4,1)+·(2,-5,8,-3)=(5,26,-9,-12),

=++=·(1,2,3,-4)+·(2,3,-4,1)+·(2,-5,8,-3)=(3,-4,1,2),

где величины: ,,;,,подлежат вычислению из систем уравнений:

и

Так как определители 4-го порядка: ==0 и ==0, то уравнения зависимы. В то же время определитель 3-го порядка: =0. Это значит, что первые три уравнения системы независимы и эквивалентны всей системе. Их и решаем:

и

откуда вычисляем (любым способом!): =5,=2,=–2;=–1,=1,=1;

6). Результат: если база – векторы ,,, то=5+2–2; =–++.

Ответ:если база – векторы ,,, то=5+2–2; =–++..

Набор поясняющих Примеров иллюстрирует наиболее сложные теоретические вопросы и предлагает рациональные схемы вычислений участвующих величин. После приобретения определённых устойчивых навыков, каждый может отработать свои алгоритмы решения и вычислений конкретных алгебраических выражений.

☻