§ 2. Линейная зависимость n-векторов.

Прежде, чем приступить к рассмотрению понятия о линейной зависимости – векторов, рассмотрим возможные принципы формирования –мерных действительных линейных векторных пространств :

▫ A¹: берем любой – вектор: =, где , – вещественные числа и применяем к нему линейные операции: → порождается бесчисленное множество –векторов:

=·	→	=+=(+)·	,,
=·

Замечание: в этом случае говорят, что пространствопорождается– вектором.

▫ A²: пусть имеем систему ,,..., –векторов пространства и применяем к ней линейные операции в виде линейных комбинаций:

=·+·+ …+·	→	=+	,,
=·+·+ …+·

Замечание: в этом случае говорят, что пространствопорождаетсясистемой– векторов:,,...,.

▫ A³: пусть имеем – векторы где , – произвольные вещественные числа → порождается бесчисленное множество – векторов .

Замечание: принципиальным в представленных примерах является то, что пространствоможет формироваться как конечным числом– векторов, так и бесконечным, но в любом случае– бесчисленное множество– векторов.

Для определения линейной зависимости векторов будем использовать понятие линейной комбинации системы векторов: ,,...,:

·+·+ …+·. (1)

Учитывая процесс A² формирования пространства – векторов , естественно при определении линейной зависимости отразить взаимоотношения непосредственно каждого вектора системы векторов: ,,...,со всеми остальными векторами этой системы.

Замечание: если пространствосформировано в процессеA³, то выделение индивидуальных особенностей каждого вектора кажется необоснованным, и, видимо, потребуется эту особенность как-то учесть!

Определение: (6.2)

Система векторов ,,..., называется линейно зависимой, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой – в противном случае.

Из этого определения следует, что процесс A¹ формирования пространства – векторов выделяет только один вектор , через который выражаются все остальные.

В случае процесса A² в пространстве будет независимых векторов столько, сколько их в совокупности векторов ,,...,. При этом все векторы пространства будут выражаться при помощи линейных комбинаций независимых векторов указанной совокупности.

Если же пространство построено при помощи процесса A³, то из его определения следует пока только то, что в нём найдутся совокупности векторов, содержащие независимые векторы: по крайней мере, можно воспользоваться векторами из процесса A².

Дело в том, что процесс A³ формирования пространства – векторов использует бесчисленное множество различных векторов, причём таких, что каждый вектор формируется случайным набором вещественных чисел. Применение понятия линейной зависимости реализуется в этом случае по отношению к системе векторов, случайно выделенной в . Даже, число векторов, привлекаемых для исследования, случайно.

Следующее определение линейной зависимости векторов учитывает особенности всех процессов A¹, A², A³ формирования пространства – векторов .

Определение: (6.3)

Система векторов ,,..., называется линейно зависимой, если существуют такие числа ,,…,, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: ·+·+ …+·=0. (2)

Нетрудно заметить, что представленные определения 6.2 и 6.3 – эквивалентны. Действительно, пусть известно, что вектор выражается в виде линейной комбинации через остальные векторы: =·+ …+·. Тогда можем записать: (–1)·+ ·+ …+·=0, то есть получили форму выражения линейной зависимости (2).

Если имеем (2), не нарушая общности, можем предположить, что . Но тогда можем записать: =·+ …+·=·+ …+·.

Определение 6.3 применимо и для случая =1: система, состоящая из одного вектора , линейно зависима тогда и только тогда, если – нулевой вектор. Эта ситуация отмечает, что определение 6.3 имеет дополнительные достоинства.

Из определения линейно зависимой системы векторов следует несколько очевидных утверждений:

– если некоторая подсистема векторов ,,..., линейно зависима, то и вся система линейно зависима;

– система векторов линейно зависима, если в ней содержатся а) два равных вектора; б) два пропорциональных вектора; в) нулевой вектор;

– если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

☺☺

Пример 6–03: Выяснить, являются ли векторы: =(-1,3,-4) и =(2,-1,6) линейно зависимыми.

Решение:

1). Предположим, что векторы и линейно зависимы: =0.

2). Это значит: (-1,3,-4)+(2,-1,6)=(0,0,0), что равносильно системе трёх уравнений:

(-1)+2=0; 3-=0; (-4)+6=0.

3). Геометрический смысл каждого из полученных уравнений – прямая, проходящая через начало координат. Все прямые разные → их общая точка (0,0). Значит равенство =0 возможно только при значениях: =0 и =0. Вывод: векторы линейно независимы.

Ответ: векторы линейно независимы.

Пример 6–04: Выяснить, являются ли векторы: =(4,6,5), =(-3,-2,-3), =(2,3,2), =(4,1,3) линейно зависимыми.

Решение:

1). Предположим, что векторы и линейно зависимы: =0.

2). Это значит: (4,6,5)+(-3,-2,-3)+(2,3,2)+(4,1,3)=(0,0,0), что равносильно системе трёх уравнений: или .

3). Так как однородная система линейных уравнений всегда имеет решение, по крайней мере, нулевое, а неизвестных больше, чем уравнений, то можно принять: – произвольное число и перенести слагаемые с неизвестной в правую часть.

4) Так как определитель системы уравнений: d ==–50, то можем использовать формулы Крамера: , , . Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:

==–5, ==–10, ==5.

5) Вычислим неизвестные: =, =2, =– → решение заданной системы уравнений: (,2,–), где – произвольное число.

Ответ: ,,, где– произвольное число.

Рассмотренные примеры показывают, что решение задачи линейной зависимости заданной системы векторов сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

☻

Возникает вопрос: как много линейно независимых векторов можно выделить в произвольной совокупности - векторов ,,...,?

Рассмотрим систему единичных векторов в - мерном векторном пространстве:

= (1, 0, 0, … , 0),

= (0, 1, 0, … , 0), (*)

. . . . . . . . . . . . . . . .

= (0, 0, 0, … , 1).

Эта система векторов линейно независима. Докажем это.

►Запишем линейную комбинацию векторов ,,…,и приравняем ее нулю:

·+·+·+ …+·=0. (3)

Учитывая свойства векторов (умножение на число и сложение), из (3) следует равенство (векторное!):

(,,…,) = (0, 0, … , 0), (4)

из которого, используя определение равенства векторов, получим = 0 для всех=1,2,..,. Это значит, что система векторов – линейно независима.◄

Итак, обнаружена система - векторов пространства , содержащая линейно независимых векторов.

Дальнейшее развитие понятия линейной зависимости векторов осуществляет следующее определение.

Определение: (6.4)

Система линейно независимых –мерных векторов ,,..., называется максимальной, если добавление к этой системе любого –мерного вектора приводит к линейно зависимой системе векторов: ,,,...,.

Применение определения 6.4 к пространству , образованному в процессе A² достаточно просто. Пусть в системе векторов ,,..., выделена подсистема ,,...,, такая, что векторы ,..., могут быть выражены в виде линейных комбинаций через векторы системы ,,...,. Это значит, что добавление к системе векторов ,,..., любого вектора из системы векторов ,..., (значит, любого вектора ) превращает систему векторов ,,,..., в зависимую. Значит, система векторов ,,...,– максимальная.

По отношению к пространству , сформированному в процессе A³, вопрос так просто не решается. Требуется получить дополнительные характеристики пространства , вытекающие из самой конструкции произвольного вектора: =.

Теорема: (6.1)

Всякие векторов в -мерном векторном пространстве при > - составляют линейно зависимую систему векторов.

Иллюстрация: 1) на плоскости любые три вектора =,=,=–зависимы;

2) в пространстве любые четыре вектора =,=,=, =–зависимы.

►Пусть имеем векторов: =,

=,

. . . . . . . . . . . . (5)

=,

и нужно подобрать такие числа: , , не все равные нулю, что:

·+·+ …+·=0,

·+·+ …+·=0, (6)

Используя векторное равенство (6), получаем однородных линейных уравнений:

(7)

Система однородных уравнений (7) всегда имеет решение, по крайней мере, нулевое. Но, в системе (7) уравнений >. Это значит, что эта система имеет ненулевые решения, то есть можно подобрать не все равные нулю числа , , такие, что (7) удовлетворяется. Но тогда система векторов , – линейно зависима. ◄

Следствие теоремы 6.1:

– в -мерном пространстве всякая линейно независимая система векторов, состоящая из векторов – максимальна;

– любая максимальная линейно независимая система векторов -мерного пространства состоит не боле чем из векторов.

Для системы векторов была доказана ее линейная независимость. Этим доказано существование в -мерном пространстве максимальной линейно независимой системы, состоящей из - векторов.

Для пространства , сформированном в процессе A³, остаётся вопрос: а нет ли в этом пространстве максимальной линейно независимой системы векторов с меньшим, чем , числом векторов? Или в пространстве любая максимальная система векторов обязательно должна содержать векторов?