130

ЛА: Глава 6

Глава 6. Линейное пространство n-векторов.

В настоящей главе вводится понятие n-векторов. В геометрии мы имели возможность проследить как на прямой, на плоскости и в 3-мерном пространстве из общего понятиягеометрический вектор(для краткости –вектор) были получены понятиябазиссистемы векторов икоординатывектора в выделенном базисе. В результате построения аналитических моделей векторов были установлены соответствия:

▫ на прямой: вектор ↔, где– координата вектора на прямой OX, вещественное число;

▫ на плоскости: вектор ↔, где– координаты вектора на плоскости OXY, вещественные числа;

▫ в пространстве: вектор ↔, где– координаты вектора в пространстве , вещественные числа.

Использование в геометрии упорядоченных систем чисел: ,,побуждает к обобщениям: использованию конструкций:, где– произвольное натуральное число, – вещественные числа. Эти конструкции позволят нам получить важные для приложений результаты.

§ 1. Определение n-векторов.

Упорядоченная система чисел: = называется n-мерным вектором, или n-вектором; , – вещественные числа, их называют компонентами вектора . Обозначают векторы малыми греческими буквами, малыми латинскими буквами обозначают компоненты векторов (числа).

Пусть задан также вектор: =. Равенство = понимают как для всех: .

Суммой векторов и называется вектор: +=.

Свойства суммывекторов:

▫ +=+– переместительное (коммутативное);

▫ (+)+=+(+) – сочетательное (ассоциативное).

Замечание:свойства суммы – векторов очевидны: следуют из определения суммы векторов и свойств вещественных чисел (в данном пособии комплексные числа не рассматриваем).

Определение – вектора не исключает запись =. Если записать сумму векторов: +, то получим особый вектор: =. Особенность этого вектора в том, что для любого вектора имеем:

+==.

По аналогии с числами, назовём вектор нулевым и обозначим: =0.

Если записать векторы = и =, то каждый из них в отдельности просто вектор. Но, если составить их сумму: + или +, то получим особый вектор: – нулевой. Говорят, вектор противоположный вектору . Точно также, вектор противоположный вектору .

При изучении геометрических векторов после введения операции суммы векторов, противоположного и нулевого векторов вполне естественно была введена операция разности векторов, как операция, обратная сумме. В случае – векторов формальное определение разности векторов и выглядит искусственным:

▫ разность векторов и – это такой вектор =, что сумма векторов и равна вектору .

Неизбежно возникает вопрос: где взять – вектор: , для выполнения суммы +? Отвечает на вопрос противоположный вектор: =. Действительно: прибавим к обеим частям равенства += вектор :

++=+ → +=+(+)=+0 =.

Итак, разность векторов и – это вектор +=.

Введение следующей операции с – векторами позволит нам ещё более просто определить разность векторов.

Произведением вектора на число называется – вектор:

==.

Пусть =–1. Тогда в соответствии с операцией умножения вектора на число можем записать: (–1)·=. Замечаем: (–1)·= –=. Это значит: для любого вектора противоположный вектор получается умножением вектора на число (–1).

Теперь можем записать: –=+(–1)·=+=, что делает определение разности совсем простым и естественным:

▫ для вычисления разности векторов и необходимо составить вектор , компонентами которого есть разность компонент векторов и .

Имея определения суммы и разности векторов, а также умножения вектора на число получаем важные свойства:

k(α β) = kα kβ	→	0∙α = 0
(k t)α = kα tα		(–1∙α) = – α
k( tα) = (kt)α		k∙0 = 0
1∙α = α		kα = 0, если k = 0 или α = 0

Операции сложения векторов и умножения векторов на число называют линейными операциями с векторами.

Определение: (6.1)

Система всех – мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения векторов на число, называется – мерным действительным линейным векторным пространством.

Замечание: более точным было бы использовать терминсовокупностьвместо употребляемого в определении терминасистема: в теории систем этом термину отводится особая роль и его содержание весьма многогранно, но таковы традиции алгебры.

Для иллюстрации – векторов и операций с ними рассмотрим несколько примеров.

☺☺

Пример 6–01: Для векторов: =(-1,3,-4) и =(2,-1,6) найти векторы: – противоположный вектор; + – сумма; 2–3– линейная комбинация.

Решение:

1). Используя определение противоположного вектора, запишем: =(1,-3,4).

2). Используя определение суммы векторов, запишем: +=(1,2,2).

3). Линейная комбинация: =2–3=(-2,6,-8) –(6,-3,18)=(-8,9,-26).

Ответ: =(1,-3,4); +=(1,2,2); =2–3=(-8,9,-26).

Пример 6–02: Для векторов: =(4,1,3,-2),=(1,2,-3,2),=(16,9,1,-3) найти линейную комбинацию: 3+5-.

Решение:

Учитывая определение суммы и разности векторов, а также умножения вектора на действительное число, запишем:

3+5-=3(4,1,3,-2)+5(1,2,-3,2)- (16,9,1,-3)=(12+5-16,3+10-9,9-15-1,-6+10+3)=(1,4,-7,7).

Ответ: 3+5-=(1,4,-7,7).

Рассмотренные примеры обнаруживают совпадение результатов применения линейных операций с векторами для различных размерностей векторов. Одномерные, двумерные и трёхмерные пространства есть частные случаи – мерного векторного пространства.

☻