§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Евклидовы пространства»

Набор обобщающих примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Евклидовы пространства». Эти примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1–1358:Проверить, что векторы =(1,1,1,2) и=(1,2,3,-3) ортогональны. Дополнить их до ортогонального базиса.

Решение:

1). Запишем скалярное произведение: ==0. Значит векторыи- ортогональны. Примем:=,=.

2). Запишем вектор =(1,-2,1,0),подбираякоординаты из условия:=0 и=0. Легко заметить, что можно принять:=(1,-2,1,0).

3). Примем: e₄ = (x,y,z,-1), требуя выполнения условий:=0,=0,=0, или:

откуда: x=,y=,z= –.

Чтобы не иметь дробей, примем: =(25,4,-17,-6).

Ответ: можно добавить:=(1,-2,1,0) и=(25,4,-17,-6).

Замечание: пример интересен в сравнении с Примером 11–07: трудоёмкость значительно меньше и совсем немного импровизаций!

Пример 2–1359:Имеем единичные ортогональные векторы: =, и=. Дополнить их доортогонального базиса.

Решение:

1). Запишем векторы ив виде:=(2,1,2)=,=(1,2,-2)=.

2). Запишем вектор =(x,y,1),подбираякоординаты из условия:=0 и=0. Это значит:откуда:x=–2 ,y=2.

Это значит: =(-2,2,1), или коллинеарный ему вектор:=(2,-2,-1).

3). Нормируем вектор :=(2,-2,-1).

Ответ: можно добавить:=(2,-2,-1).

Замечание: каждый раз ищем решение в виде строки, где одна из координат =1, так как при выполнении условий ортогональности нас устроит любой вектор, коллинеарный искомому вектору; вопрос нормирования любого вектора не вызывает затруднений.

Пример 3–1361:Задана система независимых векторов: =(1,2,2,-1),=(1,1,-5,3),=(3,2,8,-7). Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства-оболочки данной системы векторов.

Решение:

1). Примем: =, и положим вектор=+, где число определяется выражением:

=–=–=1 → =+=(2,3,-3,2).

2). Примем: =++, где числаиопределяются выражениями:

= –=–=–3, = –=–=1 → =–3+=(2,-1,-1,-2).

Ответ: ортогональный базис:=(1,2,2,-1),=(2,3,-3,2) и=(2,-1,-1,-2).

Пример 4–1364:Ортогональным дополнением подпространства пространстваназывается совокупностьвсех векторов пространства, каждый из которых ортогонален ко всем векторам подпространства. Доказать, что:

а) совокупность векторов является подпространством пространства;

б) сумма размерностей иравна;

в) пространство есть прямая сумма подпространстви.

Решение:

1). Пусть в пространстве выделен базис:,,...,. Пусть размерностьравна, причём его базисом может быть совокупность векторов:,,...,. Это значит, что совокупность векторов:,...,принадлежит. В Примере 12–03 показано, что любой из векторов,,...,ортогонален любой линейной комбинации векторов,...,. Это значит, что в результате применения линейных операций к векторам,получаемые векторы принадлежат. Это значит, что- подпространство.

2). Принятое построение подпространств иделает вполне очевидными утверждения: сумма размерностей иравна;пространство есть прямая сумма подпространстви.

Ответ: доказано.

Пример 5–1226: Задана пара квадратичных форм: =и =. Выяснить, что одна из них положительно определённая. Найти невырожденное линейное преобразование, приводящее положительно определённую форму к нормальному виду, а другую форму пары к каноническому виду. Учесть, что линейное преобразование определяется неоднозначно.

Решение:

A¹: Имеется пара квадратичных форм, одна из которых – положительно определённая: обычно не сообщается, какая именно. Требуется привести положительно определённую форму к нормальному виду, а другую – к каноническому виду.

A²: Применяя критерий Сильвестра выделяем положительно определённую форму.

1). Составим матрицы заданных квадратичных форм: =,=.

2). Вычислим главные миноры квадратичной формы , учитывая матрицу:

=1 → =4 →== 4. (1.1)

3). По критерию Сильвестра форма - положительно определённая. Так как только одна из заданных квадратичных форм положительно определённая, то оценивать форму не имеет смысла, хотя и не представляет большого труда.

A³: Приводим форму к нормальному виду. Определяем линейное преобразование переменных, приводящее форму к нормальному виду.

4). Так как в записи формы есть невыделенные квадратыпеременных, то применим преобразованиеR¹. Изобразим наши действия при помощи таблицы, выделяя основные штрихи наблюдений:

															Замена:
	1	0	1		=						1	0	1		=+, =, =.						1	0	1
	0										0	4	0								0	1	0
	1										1	0	2								0	0	1

*Левый рисунок матрицы показывает, что имеетсяневыделенный квадрат переменной при наличии в записи слагаемого и слагаемого: , куда переменная входит сомножителем. Всё это сигналит:нужно применять преобразование R¹. Средний рисунок матрицы показывает, что мы наметили в записи формывыделить квадрат переменной , причём так, чтобы переменная не использовалась, как сомножитель в других слагаемых этой формы. Таблица замены показывает необходимое преобразование переменных: видим, как используются коэффициенты первой строки матрицы среднего рисунка. Матрица отражает преобразование переменных:

=·, или =·. (1.1)

Для замены в форме (1.1) переменной на переменную из преобразования (1.1) легко получить обратное преобразование:

=·, или =·. (1.2)

Подставляя выражения ,, в исходную запись формы , в результате невырожденного линейного преобразования переменных получим новое выражение формы , в которой выделены квадраты всех неизвестных. Получена запись квадратичной формы в каноническом виде:

=. (1.3)

3). Если применим преобразование: =,= 2,=, то квадратичная форма примет вид:

=. (1.4)

4). Воспользуемся цепочкой преобразований переменных величин:

=,=,=→=–,=,=. (1.5)

5). Применяя линейное преобразование (1.5) к квадратичной форме , получим:

=. (1.6)

6). Теперь необходимо привести форму к главным осям. Это значит, необходимо найти характеристические корни матрицы квадратичной формы:

= → ==0 → ==9, =–9. (1.7)

Это значит, что матрица квадратичной формы принимает вид:=, а квадратичная форма может быть записана в виде:=– канонический вид формы.

7). Остаётся найти ортогональное линейное преобразование, которое привело квадратичную форму к каноническому виду, оставляя запись формы в нормальном виде:

Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующих найденным собственным значениям: (A)

Для значения ==9 система (A) принимает вид:: (B)

Легко заметить, что независимо одно уравнение. Пусть =1, =2 → =2 → собственный вектор для собственного значения: =(2, 1,2). Пусть =0, =–1 → =1 → собственный вектор для собственного значения: =(1,0,–1).

Для собственного значения =–9 система (A) принимает вид:: (C)

Так как в системе (C) независимы два уравнения, рассмотрим первые два уравнения. Пусть =1, тогда вычислим: =1, =–4. Собственный вектор для собственного значения: =(1,–4,1).

Векторы ,, независимы. Более того, как легко заметить, эта система векторов ортогональна. Нормируем векторы ,,: =, =, =. Это значит, что форма: = была приведена к каноническому виду: = ортогональным преобразованием:

=, 3=,

=→=, (1.8)

=,=.

Учитывая линейное преобразование (1.5) и ортогональное преобразование (1.8), запишем общее линейное преобразование, преобразующее форму к нормальному виду, а форму к каноническому виду: =, =, =. (1.9)

Ответ: квадратичные формы: = – нормальный вид, = – канонический вид. Ортогональное преобразование: =·.

Пример 6–1244: Задана квадратичная форма:=. Найти её канонический вид, применяя ортогональное преобразование. Само преобразование не находить.

Решение:

1). Матрица квадратичной формы имеет вид: =. Составим её характеристический многочлен и найдём его корни:

==0 → ==6, =9.

2). Запишем квадратичную форму в каноническом виде:=.

Ответ: квадратичная формав каноническом виде:=.

Пример 7–1249: Задана квадратичная форма: =. При­вести квадратичную форму к главным осям и определить соответствующее ортогональное преобразование.

Решение:

1). Матрица квадратичной формы имеет вид: =. Составим её характеристический многочлен и найдём его корни:

==0 → =9, =–9, =18.

2). Запишем квадратичную форму в каноническом виде:=.

3). Остаётся найти ортогональное линейное преобразование, которое привело квадратичную форму к каноническому виду.

Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующих найденным собственным значениям: (A)

Для значения =9 система (A):  (B)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =–1 → =2, =2 → собственный вектор для собственного значения: =(2,–1,2).

Для значения =–9 система (A):  (С)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =–1 → =2, =2 → собственный вектор для собственного значения: =(–1,2,2).

Для значения =18 система (A) имеет вид:  (D)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =–1 →=2, =–2 → собственный вектор для собственного значения: =(2,2, –1).

Собственные векторы ,, независимы и ортогональны. После применения процесса нормирования получим:

=(2,–1,2), =(–1,2,2), =(2,2, –1).

Это значит, что форма: = была приведена к каноническому виду: = ортогональным преобразованием:

=,=,=,

Ответ: квадратичная форма: = – канонический вид. Ортогональное преобразование: =·.

Пример 8–1256: Имеем: =. При­вести квадратичную форму к главным осям и определить соответствующее ортогональное преобразование.

Решение:

1). Матрица квадратичной формы имеет вид: =. Составим её характеристический многочлен и найдём его корни:

==0 → =4, =8, =12, =–4.

Замечание: при нахождении характеристических корней студентам нужно вспомнить способы решения уравнения 4-й степени: применение теорем Безу и Вьета, деление уголком или схему Горнера для понижения порядка многочлена, для которого ищут корни.

2). Запишем квадратичную форму в каноническом виде:=.

3). Остаётся найти ортогональное линейное преобразование, которое привело квадратичную форму к каноническому виду.

Записываем систему уравнений для нахождения собственных векторов линейного преобразования, соответствующих найденным собственным значениям: (A)

Для значения =4 система (A):  (B)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =1 → ===1 → собственный вектор для собственного значения: =(1,1,1,1).

Для значения =8 система (A):  (С)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =–1 → =1, =–1, =1 → собственный вектор для собственного значения: =(1,–1,1,–1).

Для значения =12 система (A) имеет вид:  (D)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =–1 → =1, =1, =–1 → собственный вектор для собственного значения: =(–1,1,1,–1).

Для значения =–4 система (A) имеет вид:  (E)

Легко заметить, что независимы два уравнения. Пусть =1 → =1, =–1, =–1 → собственный вектор для собственного значения: =(1,1,–1,–1).

Собственные векторы ,,, независимы и ортогональны. После применения процесса нормирования получим:

=(1,1,1,1), = (1,–1,1,–1) , = (–1,1,1,–1) , = (1,1,–1,–1).

Это значит, что квадратичная форма:

=

была приведена к каноническому виду: = ортогональным преобразованием:

=,=,

=,=.

Ответ: квадратичная форма: = – канонический вид. Ортогональное преобразование: =·.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое евклидово пространство?

2. Как определено скалярное произведение в n-мерном линейном пространстве?

3. Какое свойство скалярного произведения определяет доказательство неравенства Коши-Буняковского?

4. Что такое, неравенство Коши-Буняковского?

5. Определение длины вектора в евклидовом пространстве?

6. Определение угла двух векторов в евклидовом пространстве?

7. Что значит, векторы ортогональны?

8. Как определяют систему ортогональных векторов?

9. Как проводится нормирование заданного вектора?

10. Как определяют ортонормированный базис?

11. Как заданный базис превратить в ортогональный?

12. Что значит: подпространство L^* является ортогональным дополнением подпространства L?

13. Как определяется линейное преобразование в евклидовом пространстве?

14. Привести пример линейного преобразования в евклидовом пространстве.

15. Как изменяется запись линейного преобразования в евклидовом пространстве при замене базиса?

< * * * * * >