§ 5. Линейные преобразования евклидова пространства. Ортогональные и симметрические преобразования евклидова пространства.
Перед
тем, как рассматривать линейные
преобразования в евклидовом пространстве,
отметим основную особенность линейных
преобразований линейного векторного
пространства
.
В пространстве
линейное преобразование применяется
к отдельному вектору
или к совокупности
векторов
и ставит им в соответствие тоже
вектор
или совокупность
векторов
этого же пространства.
В
евклидовом пространстве
применяются специальные преобразования
- функции, которые отдельному вектору
или совокупности векторов ставят в
соответствие число.
Мы рассмотрим только некоторые из преобразований, применяемых в евклидовом пространстве: ортогональные и симметрические линейные преобразования и их использование для решения простейших задач геометрии и алгебры.
Линейное
преобразование евклидова пространства:
линейные функции.
Простейшими из всех функций являются
линейные функции. Знакомство со
специальными функциями евклидова,
векторного, пространства начнем с
изучения именно таких функций. Будем
считать, что в евклидовом векторном
пространстве задана
линейная функция,
если для любых
векторов
,
и произвольного
вещественного числа
определены линейные операции:
10.
=
+
.
20.
=
. (1)
Важно
помнить, что в выражениях (1):
,
,
,
- вещественные числа, то есть вещественные
функции для векторного аргумента.
Рассмотрим
евклидово пространство
,
в котором определены две базы:
и
,
связанные матричным равенством:
=
·
,
где
и
- матрицы-столбцы.
Пусть вектор
представлен в базе
: 
=
+
+
…+
=
,
или: 
=
·
=
·
. (2)
В
соответствии со свойствами линейной
функции: 10
и 20,
запишем выражение для линейной функции
: 
=
+
+
…+
,
или: 
=
·
=
·
. (3)
Пусть
вектор
представлен также в базе
,
причём строка его координат в этой базе:
=
.
Тогда можем записать: 
=
+
+
…+
=
·
.
В
соответствии со свойствами линейной
функции: 10
и 20,
запишем выражение для линейной функции
: 
=
+
+
…+
,
или: 
=
·
=
·
. (4)
Так как левые части выражений: (3) и (4) тождественно равны, то должны быть тождественно равными и их правые части:
·
=
·
. (5)
Применим
линейное преобразование-функцию
к равенству:
=
·
,
учитывая доказанное в Главе 10 свойство
перестановочности линейного преобразования
с матрицей
:
=
=
·
. (6)
Используя выражение (6), перепишем выражение (5):
·
·
=
·
→
·
=
→
=
·
. (7)
Вывод:
координаты
вектора:
=
+
+
…+
при
переходе от базы
к
базе
преобразуются
применением матрицы
,
обратной
матрице перехода от базы
к
базе
.
В евклидовом пространстве самой простой линейной функцией является скалярное произведение произвольного вектора x на фиксированный вектор a:
=
(x,a). (8)
Проверим линейность функции (8), применяя определение и свойства скалярного произведения:
10.
=
=
+
=
+
.
20.
=
·
.
Ортогональные
преобразования.
Начало таким преобразованиям было
положено задачей линейного преобразования
переменных:
=
·
,
входящих в нормальную запись квадратичной
формы, когда сохраняется сумма квадратов
переменных:
f
=
+
+…+
=
+
+…+
, (9)
из
записи:
=
·
следует, что
- квадратная
матрица, причём невырожденная.
Говорят,
что преобразование матрица
осуществляет ортогональное
преобразование,
сама матрица в этом случае называется
ортогональной
матрицей.
Замечание: говорят: сумма квадратов переменных квадратичной формы инвариантна к ортогональному преобразованию переменных.
Учитывая,
что исходный и конечный вид квадратичной
формы определяется единичной матрицей
,
а также выражение для невырожденного
линейного преобразования переменных
квадратичной формы, можем записать:
=
→
=
→
=
, (10)
из чего следует еще одно определение ортогональных матриц:
|
Определение: (11.6) |
Ортогональная
матрица – это такая матрица, для
которой транспонированная матрица
|
равна обратной матрице
.
Из
равенства
=
следуют свойства ортогональных матриц:
• сумма квадратов всех элементов любой строки (столбца) равна единице;
• сумма произведений соответствующих элементов любых двух ее строк (столбцов) равна нулю.
Если считать строки ортогональной матрицы векторами, то в строках располагаются единичные векторы (их длины равны единице), каждый вектор-строка ортогонален всем остальным (их скалярное произведение равно нулю); это же верно для столбцов.
Из
равенства
=
следует: |Q|2
=1,
т.е |Q|=
,
значит преобразование Q
невырожденное.
Из определения ортогональной матрицы получим некоторые свойства ортогонального преобразования:
10.
=
=
=
- преобразование
также ортогонально.
20.
Если
и
-
матрицы
ортогональных преобразований, то их
произведение
также ортогонально:
=
=
=
.
Замечание:
переход:
=
использует доказанную ранее в Главе 5
теорему 5.3.
Следующее определение устанавливает обобщение ортогональных преобразований в евклидовом пространстве.
|
Определение: (11.7) |
Линейное
преобразование
|
евклидова пространства
называется ортогональным преобразованием,
если оно сохраняет скалярный квадрат
всякого вектора
,
то есть верно:
=
.
Используя определение и свойства скалярного произведения: свойство симметрии и распределительное свойство, докажем теорему.
Таким образом мы доказали важную для дальнейшего применения теорему:
|
Теорема: (11.5) |
При
ортогональном преобразовании евклидова
пространства сохраняется скалярное
произведение любых двух векторов
|
и
.►Из определения следует более общее утверждение: ортогональное преобразование евклидова пространства сохраняет скалярное произведение любых двух векторов a и b.
Действительно:
1)
=
:
по определению;
2)
=
+
+
+
:
по свойству скалярного произведения;
3)
=
=
+
+
+
=
=
(a,a)+
+
+(b,b):
по определению;
4)
+
=2
и
+
=2
:
по свойству скалярного произведения;
5)
получили: 
=
+2
+
,
=
+2
+
,
откуда
следует:
=
- согласно определению.
◄
Используя теорему 11.5, получаем важное следствие:
Следствие: при ортогональном преобразовании евклидова пространства ортонормированный базис отображается в ортонормированный базис.
►Действительно.
Пусть в евклидовом пространстве
имеем ортонормированный базис:
=
.
Пусть линейное
ортогональное преобразование
евклидова пространства
совокупность векторов базиса
переводит в совокупность векторов
=
.
Возьмём любую
пару векторов базиса
,
например
и
.
По условию:
=0,
=1
и
=1.
Пусть
преобразование
переводит в пару векторов:
и
в пару векторов:
и
.
Это значит:
=
и
=
.
По определению ортогонального
преобразования верно:
=
=
=0
– векторы
и
ортогональные;
=
=
=
=1,
также:
=1
– векторы
и
нормированные.
Следовательно,
ортонормированный базис ортогональным
преобразованием
переводится в ортонормированный базис.
◄
Верно и обратное утверждение. Его доказательство представлено в следующей теореме:
|
Теорема: (11.6) |
Если
некоторое линейное преобразование
|
переводит ортонормированный базис в
ортонормированный базис, то это
преобразование ортогонально.
►Пусть
в евклидовом пространстве
линейное преобразование
переводит ортонормированный базис
=
в
ортонормированный базис
,
то есть:
=
.
Для произвольного вектора: 
=
+
+
…+
запишем: 
=
+
+...+
=
+
+
…+
.
Найдём
скалярное произведение векторов
и
в ортонормированных базисах:
и
:
=
+
+…+
и
=
+
+…+
,
из
чего следует, что линейное преобразование
ортогонально.
◄
Следствие: если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей, то это преобразование ортогонально.
►Пусть
в евклидовом пространстве
линейное преобразование
в некотором
ортонормированном базисе
=
задано
ортогональной матрицей
,
то есть можно записать:
=
·
.
Это
значит, что координаты вектора
в матрице
определены
-
строкой. Так как базис
ортонормированный, то для нахождения
скалярного произведения
нужно записать сумму квадратов элементов
-
строки матрицы
.
Так как матрица ортогональная, то имеет
место равенство: 
=1.
Аналогично
получаем равенства: 
=0,
.
Из
этого следует, что система
векторов
=
тоже является ортонормированным базисом.
Согласно Теореме 11.6 получаем: преобразование
ортогонально.
◄
Замечание:
из аналитической геометрии известно,
что преобразования 3-мерного пространства,
оставляющие на месте начало координат:
вращение, симметрия относительно прямой
или плоскости, проходящих через начало
координат, сохраняют скалярное
произведение векторов; по аналогии
ортогональное преобразование
-
мерного пространства можно рассматривать
как вращение
этого пространства.
Симметрическое,
или самосопряжённое, преобразование.
Начало таким преобразованиям было
положено задачей линейного преобразования
переменных:
=
·
,
входящих в нормальную запись квадратичной
формы, когда сохраняется сумма квадратов
переменных:
|
Определение: (11.8) |
В
евклидовом пространстве линейное
преобразование называется симметрическим,
если для любых векторов
|
и
выполняется равенство:
=
,
то есть символ симметрического
преобразования можно при скалярном
произведении переносить с одного
множителя на другой.Простейшими примерами симметрических преобразований могут служить такие примеры:
▫ Тождественное
преобразование. Так как ε
=
и ε
=
,
(ε
,
)=(
,ε
);
▫ Нулевое
преобразование. Так как ε
=0
и ε
=0,
(ε
,
)=(
,ε
);
▫ Умножение
на число
:
=
,
по свойству скалярного произведения.
Симметрические преобразования используются во многих приложениях и потому знакомство с ними очень важно.
|
Теорема: (11.7) |
Симметрическое преобразование евклидова пространства в любом ортонормированном базисе задается симметрической матрицей. Обратно, если линейное преобразование евклидова пространства хотя бы в одном ортонормированном базисе задается симметрической матрицей, то это преобразование симметрическое. |
►1).
Пустьсимметрическоепреобразование
в ортонормированном базисе:
=
задано матрицей
.
Так как в ортонормированном базисе
скалярное произведение двух векторов
равно сумме произведений соответствующих
координат, то:
=
=
,
=
=
,
так как преобразование
ортогональное, то необходимо:
=
,
откуда следует:
=
для всех
и
.
Это значит, что матрица
симметрическая.
2).
Пусть теперь линейного преобразования
в ортонормированном базисе
=
определяется симметрической матрицей
,
то есть:
=
для всех
и
.
Тогда
=
=
, (7.1)
=
=
, (7.2)
так как
=
,
то выполняется:
=
.
Пусть векторы
и
произвольные векторы евклидова
пространства и в заданном базисе записаны
в виде:
=
+
+
…+
,
=
+
+
…+
.
Запишем
векторы
и
,
как результат применения преобразования
,
определяемого симметрической матрицей
:
=
(
+
+
…+
)=
·
·
,
=
(
+
+
…+
)=
·
·
,
Запишем
для векторов b
и c
скалярные произведения: 
и 
,
учитывая то, что базис 
ортонормированный и выражения (7.1) и
(7.2):
=(
·
·
,
(
+
+
…+
))
=
,
=((
+
+
…+
),
·
·
)
=
,
Так
как
=
,
то правые
части выражений:
и 
равны,
тогда равны и левые части. Из этого
следует, что преобразование
- симметрическое.◄
Замечание:
учитывая трудности восприятия студентами
двойных сумм, при записи выражений
и 
применены матричные конструкции, которые
вполне читаются, если учитывать правила
умножения матриц и свойства скалярного
произведения.
Следствие: Сумма симметрических преобразований евклидова пространства, а также произведение симметрического преобразования на число являются симметрическими преобразованиями.
|
Теорема: (11.8) |
Все характеристические корни симметрической матрицы (симметрического преобразования) действительны. |
►1).
Пусть число
собственное значение преобразования
,
заданного в ортонормированном базисе:
=
симметрической матрицей
.
Это значит, что определитель системы
однородных уравнений не равен нулю:
=
=0,
(8)
система
уравнений (8) имеет ненулевое решение
=
.
Запишем равенство:
+
+…+
=
,
. (9)
2).Так
как многочлен 
-
степени с действительными коэффициентами
имеет и действительные и комплексные
корни, будем считать, что λ0
в общем случае –
комплексное
число. Это значит, что и компоненты
вектора x
могут быть комплексными числами! Нужно
доказать, что для симметрического
преобразования λ0
– действительное
число.
Умножим
(9)
на число
,
сопряженное с xi.
и сложим все полученные равенства:
=
λ0
. (9)
Так
как каждое число (xi
)
– действительное,
то сумма
- действительное число.
Учитывая свойства сопряжённых комплексных
чисел, запишем выражение:
=
=
. (10)
Учитывая
равенство: 
=
,
а
также применяя перемену обозначений в
двойной сумме, запишем выражение:
=
=
. (11)
Сравнивая
цепочку равенств (10) с цепочкой (11),
получаем:
=
.
Это значит, что число
–
действительное,
и выражение (9) определяет 
– действительное
число. ◄
|
Теорема: (11.9) |
Линейное
преобразование
|
евклидова пространства тогда и только
тогда будет симметрическим, если в
этом пространстве существует
ортонормированный базис, составленный
из собственных векторов этого
преобразования.
►1).
Пусть ортонормированный базис пространства
составлен из собственных векторов
линейного преобразования
.
Это значит, что можем записать:
=
,
,
или
в матричной форме: 
=
=
·
=
·
,
что
значит: линейное
преобразование задано диагональной
матрицей
,
которая является
симметрической
→ преобразование симметрическое.
2).
Вторая часть утверждения доказывается
индукцией по размерности
пространства
.
A1:
При
=1
имеем евклидово пространство пространства:
E1,
в котором любое линейное преобразование
задается матрицей: A
= (
).
Это преобразование симметрическое, так
как:
а)
для любых векторов
и b
верно:
=
,
=
;
б)
по свойству скалярного произведения:
(
,b)=(a,
).
Нормируя
вектор a,
получаем ортонормированный базис
пространства
.
A2:
Пусть имеем (
-1)
- мерное евклидово пространство и в нем
определено симметрическое линейное
преобразование. Пусть в
определён
базис:
,
ортонормированный и
составленный
из собственных векторов
преобразования
.
A3:
Пусть в
-
мерном евклидовом пространстве
определено
симметрическое линейное преобразование
-
.
Требуется найти
ортонормированный базис 
=
,
составленный из собственных векторов
этого преобразования
.
В
соответствии с Теоремой 11.8 для
симметрического преобразования
в пространстве
существует действительное собственное
число 
,
которому соответствует
собственный вектор
.
Всякий вектор, пропорциональный вектору
,
будет тоже собственным для преобразования
: 
=
=
=
.
Нормируем
вектор
:
=
→
вектор 
обладает свойствами: (e1,e1)
=
1,
=
.
Далее выполним последовательно действия и выделим промежуточные результаты:
1)
Выделим в
ортонормированный базис
,
в который включён вектор 
:
было доказано, что любой ненулевой
вектор может быть включён в некоторый
ортонормированный базис.
2)
Совокупность векторов:
вместе с натянутой на них оболочкой
можно использовать в качестве
ортогонального дополнения множеству
векторов, построенных как оболочка
вектора 
.
Пусть в пространстве
имеем вектор
.
Запишем этот вектор в базисе
:
=
+
+
…+
.
3)
Так как базис
ортогональный, то
=
.
Если
вектор
принадлежит подпространству
,
то
=0.
Для
таких векторов
и векторы
принадлежат подпространству
.
Такое свойство подпространства
по отношению к преобразованию
называют инвариантностью.
4)
Используя свойство инвариантности
подпространства
,
можно считать, что в (
–1)
-мерном пространстве рассматривается
линейное преобразование
.
Так как преобразование
- симметрическое в пространстве
,
то оно будет симметрическим и в
подпространстве
.
По допущению, в подпространстве
существует ортонормированный базис,
составленный из собственных векторов
линейного преобразования
:
.
Совокупность векторов:
ортогональна вектору 
,
который тоже собственный вектор
преобразования.
5)
Итак, в пространстве
получен ортонормированный базис 
=
,
составленный из собственных векторов
преобразования
.
◄
В приложениях симметрических преобразований часто оказывается полезной теорема:
|
Теорема: (11.10) |
Собственные векторы симметрического преобразования φ, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны. |
►Пусть
имеем собственные векторы
и
:
=
,
=
,
причем 
.
Используя свойства скалярного
произведения, запишем:
=
=
и 
=
=
.
Из
равенства: 
=
следует:
=
.
Так как
,
то
=0.◄
☺☺
Пример
12–10:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:
=
в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.
Решение:
Схема решения:
1) Составляем характеристический многочлен матрицы и находим его корни.
2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу
преобразования
.
3) Находим собственные векторы линейного преобразования.
4) Применяем ортогонализацию собственных векторов и их нормирование – искомый базис.
1) В нашем случае характеристический многочлен:
=
=
=
–9
,
его
корни:
=
–1,
=1,
кратности 2.
2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=
.
Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)
Для
значения
=
–1
система (A)
принимает вид::
. (B)
Принимаем
в качестве свободной неизвестной: пусть
=1.
Тогда:
=1,
=–2.
Собственный вектор:
=(1,-2,1).
Нормируем этот вектор:
=
(1,-2,1).
Для
значения
=1
система (A)
принимает вид::
=
. (B)
Принимаем
,
в качестве свободных неизвестных и
строим фундаментальную систему решений:
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
b2 |
1 |
1 |
1 |
|
b3 |
1 |
0 |
-1 |
Векторы-решения
(собственные векторы линейного
преобразования!) b2,b3
ортогональны. Нормируем их:
=
(1,1,1),
=
(1,0,–1).
Ответ:матрицу
=
;
ортонормированный базис:
Пример
12–11:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:
=
в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.
Решение:
Схема решения:
1) Составляем характеристический многочлен матрицы и находим его корни.
2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу
преобразования
.
3) Находим собственные векторы линейного преобразования.
4) Применяем ортогонализацию собственных векторов и их нормирование – искомый базис.
1) В нашем случае характеристический многочлен:
=
=
–
,
его
корни:
=
–9,
=9,
=18.
2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=
.
Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)
Для
значения
=
–9
система (A)
имеет вид:
. (B)
Принимаем
в качестве свободной неизвестной: пусть
=2.
Тогда:
=1,
=–2.
Собственный вектор:
=(1,-2,2).
Нормируем этот вектор:
=
(1,-2,2).
Для
значения
=9
система (A):
. (C)
Принимаем
в качестве свободной неизвестной: пусть
=1.
Тогда:
=2,
=2.
Собственный вектор:
=(2,2,1).
Нормируем этот вектор:
=
(2,2,1).
Для
значения
=18
система (A):
. (C)
Принимаем
в качестве свободной неизвестной: пусть
=2.
Тогда:
=–2,
=1.
Собственный вектор:
=(–2,1,2).
Нормируем этот вектор:
=
(–2,1,2).
Ответ:собственные
значения: 
=
–9, 
=9,
=18;преобразование
евклидова пространства задается матрицей
=
;
ортонормированный базис:
Пример
12–12:Ортогональное
преобразование
задано матрицей:
=
в ортонормированном базисе. Найти
ортонормированный базис, в котором
преобразование
имеет канонический, то есть простейший,
вид.
Решение:
Схема решения:
1) Составляем характеристический многочлен матрицы и находим его корни.
2)
Имея характеристические корни, строим
каноническую матрицу
преобразования
.
3) Находим собственные векторы линейного преобразования.
4) Применяем ортогонализацию собственных векторов и их нормирование – искомый базис.
1) В нашем случае характеристический многочлен:
=
=
–
,
его
корни:
=2,
=
=4
- кратный.
2)
Записываем каноническую матрицу
ортогонального преобразования:
=
.
Записываем
систему уравнений для нахождения
собственных векторов линейного
преобразования, соответствующих
найденным собственным значениям:
(A)
Для
значения
=2
система (A)
имеет вид:
. (B)
Принимаем
в качестве свободной неизвестной: пусть
=1.
Тогда:
=0,
=–
.
Собственный вектор:
=(1,–
,0).
Нормируем этот вектор:
=
(1,–
,0).
Для
значения
=
=4
система (A)
принимает вид:
(C)
Принимаем
и
в качестве свободных неизвестных и
строим фундаментальную систему решений:
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
b2 |
1 |
i |
0 |
|
b3 |
0 |
0 |
1 |
Векторы-решения
(собственные векторы линейного
преобразования!) b2,b3
ортогональны. Нормируем их:
=
,
=(0,0,1).
Ответ:собственные
значения: 
=2,
=
=4;преобразование
евклидова пространства задается матрицей
=
;
ортонормированный базис:
☻