§ 3. Ортогональная система векторов.

При решении Примера 12–03была использована совокупность попарно ортогональных векторов:,,...,. Было доказано, что любой вектор ортогонален сумме остальных векторов этой совокупности.

Определение: (11.6)

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Замечание: использование понятия изоморфизм позволяет предвидеть использование свойства попарной ортогональности векторов при построении базы в n-мерном пространстве.

В Примере 12–03была доказана теорема, в которой утверждается: во всякой совокупности попарно ортогональных векторов:,,...,любой вектор ортогонален сумме остальных векторов этой совокупности. Фактически была доказана теорема:

Теорема: (11.2)

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

►Пусть имеем систему ненулевые, попарно ортогональных векторов: ,,..., пространства E_n. Допустим, существует линейная зависимость этих векторов:

++..+=0,

умножим это выражение скалярно на вектор . Так как вектор перпендикулярен всем остальным векторам: ,...,, то получим: λ₁(e₁,e₁)=0. Но, по свойству скалярного произведения, → = 0. Аналогично получим: все =0, то есть система векторов ,..., линейно независима! ◄

Рассматривая ортогональные системы векторов, а также исследуя их линейную независимость в пространстве , замечаем их сходство с векторами,,базы пространства, используемой при построении прямоугольной системы координат. Ниже это сходство станет обоснованным распространением свойств векторов пространствав пространство.

§ 4. Ортонормированный базис евклидова пространства. Ортогональное дополнение.

При изучении линейных векторных пространств рассматривались способы построения базиса произвольного пространства . Оказывается, любой базис пространстваможно преобразовать в ортогональный базис пространства.

Теорема: (11.3)

В пространстве всякий базис: g=(g1,g2, … , ) можно преобразовать в ортогональный базис некоторым невырожденным линейным преобразованием.

►Пусть в пространстве имеем базис: g₁,g₂, … ,. Примем e₁=g₁. Это равносильно невырожденному линейному преобразованию: независимая система векторов (g₁,g₂, … ,) преобразована в независимую систему (e₁,g₂, … ,).

Далее примем: =λ₁e₁+g₂,

причем e₂ ≠0, так как векторы g₁,g₂ независимы. В этом случае реализуется невырожденное преобразование, переводящее независимую систему (e₁,g₂, … ,) в независимую систему (e₁,e₂,g₃ … ,). Для нахождения числа потребуем, чтобы вектор e₂ был ортогонален e₁: получаем выражение: = –.

Пусть уже построена система независимых векторов (e₁,e₂,e₃ … ,e_n-1,). Далее запишем выражение: =+ +…+ +,

причем e_n ≠0, так как векторы (g₁,g₂, … , ) независимы. В этом случае реализуется невырожденное преобразование, переводящее независимую систему (e₁,e₂,e₃ … ,e_n-1,) в независимую систему (e₁,e₂,g₃ … , e_n-1,e_n). Для нахождения чисел потребуем, чтобы вектор e_n был ортогонален каждому вектору , =1,2,…,(n-1):

= –, =1,2,…,(n-1).

Итак, нами определен процесс, преобразующий произвольный базис g=(g₁,g₂, … , ) в ортогональную систему векторов ,,..., - ортогональный базис. ◄

Следствие: Так как любой вектор пространства может быть включен в некоторый базис пространства , то этот вектор может быть включен в любой ортогональный базис пространства .

Вектор b называют нормированным, если (b,b)=1. Если вектор a ≠ 0, то его можно нормировать: b =a =.

Если в пространстве построен ортогональный базис, его можно нормировать. Так получаем ортогональный и нормированный базис, короче: ортонормированный базис.

Пусть в пространстве определен ортонормированный базис, и произвольные векторы записаны в виде: x= λ₁e₁ +λ₂e₂ +…+,

y= μ₁e₁ +μ₂e₂ +…+.

В этом случае скалярное произведение векторов имеет простейшее выражение:

= λ₁μ₁+λ₂μ₂+,…,+. (1)

Верно и обратное: если скалярное произведение векторов в некотором базисе записывается в виде (1), то базис (e₁, e₂, … , e_n) – ортонормированный.

Используя полученные в настоящем параграфе результаты, можно получить развитие понятия изоморфизма евклидовых пространств:

Теорема: (11.4)

Любые евклидовы пространства и , имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны между собой.

►Пусть в пространстве имеем ортонормированный базис: (e₁,e₂, … ,e_n), а пространстве ортонормированный базис: (e′₁, e′₂, … , e′_n). Запишем векторы:

x= λ₁e₁ +λ₂e₂ +…+, y= μ₁e₁ +μ₂e₂ +…+, (2)

x′= λ₁e′₁ +λ₂e′₂ +…+, y′= μ₁e′₁ +μ₂e′₂ +…+. (3)

Выражения (2) и (3) определяют изоморфизм и как линейных пространств. В то же время видим: (x,y) = = (x′,y′),

что определяет изоморфизм и как евклидовых пространств. ◄

Далее определим понятие ортогональное дополнение. Пусть имеем подпространство L₁ размерности k₁. Ортогональным дополнением подпространства L₁ называют множество векторов L₂, ортогональных каждому вектору L₁.

Если можно представить евклидово пространство в виде суммы: Е_n = L₁+L₂, где каждое из подпространств является ортогональным дополнением другого, то их пересечением является только нулевой вектор. В этом случае сумма размерностей подпространств равна размерности пространства , то есть: n = k₁+ k₂. В этом случае говорят, что пространство есть прямая сумма подпространств L₁ + L_2. .

☺☺

Пример 12–07:Проверить, что векторы =(1,-2,2,-3) и=(2,-3,2,4) ортогональны. Дополнить их до ортогонального базиса.

Решение:

Замечание: в условии не оговорено, в каком базисе заданы векторы и , но из имеющейся информации мы должны считать, что эти векторы заданы в ортонормированном базисе.

0). Учитывая замечание, запишем: ==0. Это значит, что векторыи- ортогональны. Поиск недостающих двух векторов для построения ортогонального базиса проведём двумя способами.

Способ -1:

1). Запишем скалярное произведение: ==0. Значит векторыи- ортогональны.

2). Запишем любой определитель, включающий строки и,=, не равный нулю. Это значит, что векторы,,=(0,0,1,0) и=(0,0,0,1) независимы и могут использоваться как базис. Превратим его в ортогональный базис:,,,.

3). Примем: =,=. Примем:=++, где:

= –=–=–, = –=–, → 99=99–11–6=(-23,40,65,9).

Чтобы не иметь дробей, примем: =(-23,40,65,9).

4). Примем: =+++, где:

= –=, = –=–, = –=–.

Тогда можем записать: 66·715=66·715+11·715–8·715–66=(-2057,-1210, 0, 121). Чтобы не иметь дробей, примем:=(-2057,-1210, 0, 121).

Ответ: можно добавить:=(-23,40,65,9) и=(-2057,-1210, 0, 121).

Замечание: рассмотренный способ полезен своей пугающей громоздкостью (!): это подсказывает, что поиск рациональных способов решения задачи может избавить исследователя от излишних затрат усилий.

Способ -2:

1). Примем: вектор =(x,y,1,0), требуя выполнения условий:=0,=0 , или:

откуда: x=2 ,y=2 →=(2,2,1,0).

2). Примем: вектор a₄ = (1,x,y,z), при условии:=0,=0,=0, или:

откуда: x=–,y=–,z= –→=–(-5,2,6,1).

3). Для удобства, примем: вектор = (-5,2,6,1), так как ортогональность обеспечит любой коллинеарный ему вектор!

Ответ: можно добавить:=(2,2,1,0) и= (-5,2,6,1).

Замечание: видим, что способ-2 сразу начинает поиск ортогональных векторов, а способ-1 сначала импровизирует, соглашаясь начать с любого базиса пространства, а потом провести его ортогонализацию.

Пример 12–08:Задана система векторов: =(2,1,3,-1), =(7,4,3,-3) ,=(1,1,-6,0),=(5,7,7,8). Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства-оболочки данной системы векторов.

Решение:

1). Примем: =, и положим вектор=+, где число определяется выражением:

=–=–=–2 → =–2=(3,2,-3,-1).

2). Примем: =++, где числаиопределяются выражениями:

= –=–=1, = –=–=–1 → =+–=(0,0,0,0),

это что вектор является линейной комбинацией векторови . Этот вектор не должен участвовать в ортогональном базисе!

3). Примем: =++, где числаиопределяются выражениями:

= –=–=–2, = –=–=0 → =–2=(1,5,1,10).

Ответ: ортогональный базис:=(3,2,-3,-1),=(3,2,-3,-1) и=(1,5,1,10).

Замечание: пример интересен тем, что процесс ортогонализации выделяет на очередном шаге зависимый от уже включённых в базис векторов: такой вектор из процесса удаляется, как не удовлетворяющий требованиям базиса.

Пример 12–09: Доказать, что ортогональноедополнение к линейному подпространству линейного векторного пространстваобладает свойствами:

1). ; 2).=;

3). =; 4).=0 →=.

Решение:

1). Пусть в пространстве выделен базис:,,...,. Пусть подпространствообразовано совокупностью векторов:,,...,. Это значит, что ортогональное дополнениеиспользует в качестве своего базиса совокупность векторов:,...,. Если теперь построить ортогональное дополнениек подпространству, получится подпространство с базисом,,...,, что есть подпространство. Из рисунка всё очевидно:

2). Пусть в пространстве выделен базис:,,...,. Доказательство пронаблюдаем, рассматривая представленную ниже таблицу, в которой отражены все элементы, используемые в выражении=:

3). Пусть в пространстве выделен базис:,,...,. Доказательство пронаблюдаем, рассматривая представленную ниже таблицу, в которой отражены все элементы, используемые в выражении=:

4). Пусть в пространстве выделен базис:,,...,. Доказательство пронаблюдаем, рассматривая представленную ниже таблицу, в которой отражены все элементы, используемые в выражении=0 →=:

Замечание: пример интересен тем, что процесс доказательств можно хорошо иллюстрировать, что особенно важно на первом этапе освоения алгебраических абстракций для тех, кто имеет слабо развитое образное мышление!

Ответ: доказательства представлены в рисунках.

☻