§ 2. Длина (норма) вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

Для векторов 3-мерного пространства, как одно из применений скалярного произведения векторов и , определена длина произвольного вектора :

==.

По аналогии с 3-мерным пространством введем понятие длины и угла в n-мерном евклидовом пространстве.

Определение: (11.3)

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называют число, определяемое выражением: =|a|.

Замечание: отметим, что понятие длины вводится не в пространстве , а в пространстве после введения скалярного произведения. Следование принципу обобщений позволило сразу записать выражение длины вектора .

Что касается угла между векторами, то в геометрии 3-мерного пространства это сделано в соответствии с аксиомами геометрии и определялось общечеловеческой практикой. Представить себе угол , даже в простейшем пространстве , нет возможности. Поэтому определение величины для - мерного пространства исходит только из аналогии с освоенным пространством . Это значит, что определение скалярного произведения должно обеспечивать выполнение условия: .

Определение: (11.4)

Углом между векторами , в евклидовом пространстве называют число: =, или = .

Замечание: мы видели, что скалярное произведение может быть введено разными способами, видели, при определении векторных пространств, что и сами векторы могут мало походить на привычные векторы из физики и геометрии, для нас важно пока только одно: обеспечить выполнение принципа обобщений.

После того, как ввели понятие угла, ничто не мешает нам предположить, что один вектор может быть перпендикулярным другому.

Определение: (11.5)

Если скалярное произведение векторов , равно нулю, то векторы и называют ортогональными. Говорят, что угол между векторами , равен .

Замечание: учитывая, что скалярное произведение векторов и равно нулю и в случае, если один из векторов равен нулю, например, вектор , то говорят, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Рассмотренные ниже примеры обнаруживают известные из геометрии сведения. Интересна аналогия теоремы Пифагора в - мерном пространстве.

☺☺

Пример 12–03:Пусть имеем совокупность попарно ортогональных векторов:,,...,. Доказать, что любой вектор ортогонален сумме остальных векторов этой совокупности.

Решение:

1). Запишем сумму: =++...+.

2). Вычислим скалярное произведение векторов и:

(,)==++...+=0+0+...+0 = 0,

что доказывает утверждение.

Ответ: доказано.

Пример 12–04:Пусть имеем ортогональные векторы: и пространства. Доказать равенство:=+. Обобщить результат для совокупности попарно ортогональных векторов:.

Решение:

1). Из определения длины вектора в - мерном векторном пространстве можем записать:===+.

2). Обобщение получаем, используя обобщение алгебраической формулы для квадрата суммы любого числа слагаемых: =+2(++...). Это значит, что верно равенство: =+++...

Ответ: доказано, обобщение получено.

☻

Итак, в соответствии с определением угла между двумя n-мерными векторами необходимо потребовать (!) выполнения условия: . Это требование можно записать в виде эквивалентного требования: . По определению длины вектора имеем: =, аналогично: =. Окончательно, можно записать требование: в виде неравенства: ,

которое называют – неравенство Коши-Буняковского.

Теорема: (11.1)

Для любых векторов a,b евклидова пространства En неравенство Коши-Буняков-ского: выполняется.

►Пусть имеем произвольные векторы , евклидова пространства. Составим вектор: . Учитывая свойства скалярного произведения, можем записать:

=≥ 0.

Это значит, что квадратный трёхчлен с вещественными коэффициентами должен быть неотрицательным при любых значениях параметра . В элементарной алгебре это равносильно требованию к дискриминанту: квадратного трёхчлена: , что равносильно неравенству Коши-Буняковского. ◄

Следующие примеры иллюстрируют симпатичные последствия превращения линейного пространства в евклидово пространство.

☺☺

Пример 12–05:Доказать неравенство: ≤·для любых чисел.

Решение:

1). Запишем векторы: =и=.

2). Определим скалярное произведение: =. Тогда:=,=.

3). Остаётся применить неравенство Коши-Буняковского: .

Ответ: доказано.

Замечание: доказательство, использованное в примере, оказалось достаточно простым и выразительным; если проводить доказательство применением традиционных средств эквивалентных преобразований алгебры, то оно не показалось бы простым!

Пример 12–06:Доказать неравенство треугольника для любых векторов ипространства.

Решение:

1). Пусть имеем векторы: и. Вычислим:=.

2). Остаётся применить неравенство Коши-Буняковского: в эквивалентном виде:к выражению:.

3). Последнее равносильно неравенству треугольника: .

Ответ: доказано; достаточно просто получить обобщение:

☻