§ 1. Определение. Изоморфизм евклидовых пространств.

Учитывая поставленную цель: идти в направлении обобщений имеющихся аналитических конструкций, рассмотрим некоторое линейное векторное пространство и определим в нём скалярное пространство. Сразу понятно, что мы можем воспользоваться простейшими аналогиями: в геометрии имели векторыи→ в алгебре пусть это векторыxиy. Так как мы не знаем, что такое длина и угол в случае- мерных векторов, потребуем при определении скалярного произведения только сохранения уже известных нам свойств.

Определение: (11.1)

Пусть имеем векторы x, y и z линейного векторного пространства . Скалярным произведением произвольных векторов называется число , обладающее свойствами (аксиоматические требования!): 1) = – симметрия; 2) = , где – некоторое число; 3) =+ – дистрибутивность; 4) ≥ 0, причем равенство возможно только для x =0.

Линейное векторное пространство , в котором определено скалярное произведение, называется - мерным евклидовым пространством. Его будем обозначать - .

☺☺

Пример 12–01:Пусть имеем векторы: = и= пространства- векторов. Для любых вектороввыражение:=предложено считать скалярным произведением. Возможно ли это?

Решение:

1). Для ответа на вопрос необходимо проверить все требования, принятые в определении скалярного произведения.

2). Так как координатами векторов являются числа, то свойства операций с числами легко показывают выполнение всех требований, предъявляемые к конструкции . Следовательно, предлагаемое выражение можно принять за определение скалярного произведения.

Ответ: возможно.

Пример 12–02:Пусть имеем векторы: = и= пространства- векторов. Для любых вектороввыражение:= предложено считать скалярным произведением. Возможно ли это?

Решение:

1). Для ответа на вопрос необходимо проверить все требования, принятые в определении скалярного произведения.

2). Для выполнения свойства симметрии скалярного произведения необходимо потребовать ещё, чтобы выполнялось условие: =для всех .После этого уточнения предлагаемое выражение можно принять за определение скалярного произведения.

Ответ: возможно, если потребовать: =для всех .

☻

Для линейных векторных пространств было введено понятие изоморфизма двух векторных пространств. Возникает вопрос: существуют ли изоморфные пространства среди евклидовых пространств?

Определение: (11.2)

Два евклидовых пространства и называют изоморфными, если они изоморфны как линейные векторные пространства и , и в них обеспечено равенство скалярных произведений. Это значит, что если , а также , то необходимо: =.

Замечание: в определении представлены базовые требования изоморфизма двух евклидовых пространств; после установления понятий длины- мерного вектора и угла между векторами понятие изоморфизма станет более содержательным.