52

ЛА: Глава 12

Глава 12. Евклидовы пространства.

Следуя принципам обобщения простейших алгебраических конструкций, ещё раз обратимся к 3-мерному геометрическому пространству. В геометрии знакомство с векторами начиналось с геометрических векторов . По отношению к геометрическим векторам были определены линейные операции: сумма векторов и умножение вектора на число. Так было получено линейное векторное пространство . В этом пространстве были обнаружены полезные свойства, позволяющие эффективно решать широкий класс практических задач. Возможности приложений существенно расширились в связи с применением прямоугольной системы координат: было установлено взаимно однозначное соответствие ↔ , где – координаты вектора в системе координат , вещественные числа. Обобщением 3-мерных строк явилось введение конструкций: , где – произвольное натуральное число, – вещественные числа: было получено векторное пространство .

В определении геометрического вектора явно участвовало понятие длины. Что такое длина в случае пространства , мы не можем ответить. Вспоминая последовательное расширение прикладных возможностей векторного пространства , отметим важную роль скалярного произведения векторов: и . Мы смогли получить формально-алгебраическое определение длины вектора, проекции вектора на вектор, определение угла между векторами.

Проследим процесс введения скалярного произведения в векторном пространстве . Пусть имеем векторы: == и =, заданные координатами в прямоугольной системе координат, причём ,, - единичные и взаимно перпендикулярные векторы. Скалярное произведение этих векторов было определено в аналитической геометрии как число, определяемое выражением: ∙=++.

В частном случае, когда =, из определения скалярного произведения векторов и следует: =++. (1)

Выражение (1) есть квадрат длины направленного отрезка-вектора : именно такое выражение было получено в элементарной геометрии для квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда, размеры сторон которого: , , . Из выражения (1), с учётом результатов геометрии, можно записать:

= - результат применения теоремы Пифагора,

= - частный результат применения скалярного произведения.

Из определения скалярного произведения следуют свойства (очевидные, если учитывать свойства опера­ций сложения и умножения для чисел!):

1^*. ;

2^*. ;

3^*. – не зависит от выбора системы координат (!), так как = - квадрат длины вектора.

Учитывая свойство 3) скалярного произведения, выберем прямоугольную систему коор­динат так, чтобы выражение скалярного произведениявекторов и по первому определе­нию было максимально простым: вектор направим по направлению оси OX, а вектор под уг­лом к оси OX.

Из рисунка: =(||;0;0), =(||; ||;0). Применяя определение скаляр­ного произведения, получим известное выражение:

∙=||∙||∙, (2)

которое можно рассматривать как ещё одно определение скалярного произведения. Угол между векторами изменяется в диапазоне: 0≤ ≤ (напоминание!).

Пусть теперь определение скалярного произведения: ∙=||∙||∙ первично. Очевидно, что свойства скалярного произведения: 1^*÷3^* выполняются и в этом случае. Используя определение (2), вычислим скалярное произведение для векторов =+j+k и =+j+k, заданных в прямоугольной системе координат :

·=·= ++, (3)

так как: ·=1, ·=1, ·=1; ·=·=·=0.

Совместное использование двух определений скалярного произведения позволяет получить важный для применения в векторном пространстве результат. Пусть используется не прямоугольная система координат и векторы ,, - не ортогональные и не единичные. Вычислим скалярные произведения:

·=, ·=, ·=;

·===·; ·===·; ·==·.

Пусть в системе координат, определяемой базисными векторами ,,, заданы векторы: = и =. Используя свойства скалярного произведения векторов ,, вычислим их скалярное произведение:

·=+ (4)

+=.

Сравнивая записи скалярного произведения в выражениях (3) и (4), видим, что выражение для скалярного произведения получается простейшим только в случае, если базисные векторы – единичные и взаимно перпендикулярные!

Мы хотим получить обобщение скалярного произведения для - мерного векторного пространства, причём так, чтобы для частного случая: при =3 получить привычное 3-мерное векторное пространство, то есть пространство геометрическое!