§ 2. Комплексные числа.

В обозначении первый индекс указывает на номер строки, а второй – на номер столбца, на пересечении которых этот элемент располагается. Обозначение матрицы:

§ 3. Матрица.

Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из s строк и n столбцов; числа называются элементами матрицы. Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых могут быть элементы любого числового поля. В обозначении первый индекс указывает на номер строки, а второй – на номер столбца, на пересечении которых этот элемент располагается. Обозначение матрицы:

(1)

Если число строк равно числу столбцов, т.е. =, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Диагональ матрицы, идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол и состоящая из элементов: a₁₁, a₂₂,...,, называется главной диагональю. Диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний и состоящая из элементов: , называется побочной диагональю. Квадратная матрица порядка n называется единичной матрицей порядка n, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. Любая матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Если в матрице A записать строку- в виде столбца-, для всех , то есть поменять ролями строки и столбцы, то говорят, что матрица транспонирована:

→ (1)

§ 4. Метод математической индукции.

Заметим, что метод математической индукции достаточно широко используется в математике. В линейной алгебре этот метод особенно эффективен, так как алгебраические конструкции очень часто используют параметр последовательности .

Приведённая ниже теорема устанавливает правило доказательства утверждений, учитывающих параметр .

Теорема: (1.1)

Пусть и для всякого имеется высказывание (утверждение) – , причём известно, что: 1) при значении параметра = высказывание верно; 2) для всякого : если из допущения = (верно) → = (верно). Тогда высказывание верно для всех натуральных чисел

►Допустим противное: найдётся такое , для которого утверждение неверно. Но, тогда утверждение = (верно).

Но, в соответствии с теоремой, мы получали: = (верно) → = (верно). Полученное противоречие означает: теорема доказана! ◄

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода математической индукции.

☺☺

Пример 1–01: Пусть имеем последовательность: 1, 2, ... , . Если =1+2+ ... + , то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверим условие: для =1 имеем ==1 → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+(+1)= → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+ ... + .

Пример 1–02: Пусть имеем последовательность: 1, 2, 4,...,. Если =1+2+...+, то (утверждение): =-1 верно для любого .

Решение:

1). Учитывая что , видим: при =1 имеем =1 → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+= -1+=-1 → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+...+.

Пример 1–03: Пусть имеем последовательность: 1², 2²,...,. Если =1²+2²+...+, то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =1 = → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+(+1)² =(+1). После несложных преобразований: = → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1+2+...+.

Пример 1–04: Доказать, что неравенство: > верно при всех .

Решение:

1). Учитывая что >, видим: при =5 имеем: → высказывание P(5) – верно.

2). Пусть >5 и P() верно. Проверим: >. Так как >5, то очевидна цепочка неравенств =·2>2>+3>+2+1 → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: неравенство доказано.

Пример 1–05: Имеем последовательность: 1·2, 2·5,..., (3-1). Если =1·2+2·5+...+(3-1), то (утверждение): =·(+1) верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =2 =·(1+1) → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+(+1)²(3(+1)-1) =(+1)(+3+2). После несложных преобразований: =(+1)²((+1)+1) → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1·2+2·5+...+(3-1).

Пример 1–06: Пусть имеем последовательность: 1⁵, 2⁵,...,. Если =1⁵+2⁵+...+, то (утверждение): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: =1 = → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+(+1)⁵ =(2+14+35+36+12). Догадка: если формула верна, то полученное выражение должно делиться на многочлен: ((+1)+1)² без остатка. Применяя деление уголком, к многочлену 4-й степени, получаем для него многочлен-частное: (2+6+3)=(2+2(+1)–1), после несложных преобразований: = → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы чисел: 1⁵+2⁵+...+.

Пример 1–07: Пусть имеем последовательность: , ,...,. Для последовательности записана сумма: =++...+. Утверждение (формула): = верно для любого .

Решение:

1). Проверяем при =1: === → высказывание верно.

2). Пусть верно. Проверим: =+=. Догадка: если формула верна, то числитель дроби должен делиться на скобку (n+1) без остатка. Применяя деление уголком, достаточно просто получаем в числителе многочлен-частное: (+5+4)=(+1)(+4), то есть: = → для (+1) высказывание также верно.

3). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: выражение для утверждения есть формула суммы последовательности.

Замечания: 1) Рассмотренные примеры предлагали неизвестные многим формулы и неравенства, и нужно было, применяя метод математической индукции, убедиться в их верности. Этот же метод может помочь вспомнить уже известную формулу!

2) Интересно самому получить формулу для записанной последовательности: это требует находчивости исследователя!

Пример 1–08: Пусть имеем последовательность: , ,...,. Для последовательности записана сумма: =++...+. Для этой суммы требуется найти формулу для суммы при любом .

Решение:

1). Запишем равенство: 2·=–.

2). Тогда можем записать: =·, откуда следует формула для суммы членов последовательности: =.

3). Нужно доказать, что формула верна для любого . Применим метод математической индукции!

4). Проверяем при =1: == → высказывание верно.

5). У нас верно! Проверим: =+=. Догадка: если формула верна, то числитель дроби должен делиться на скобку (2n+1) без остатка. Применяя теорему Вьета, в числителе получим: (2+3+1)=(+1)(2+1), то есть: = → для (+1) высказывание также верно.

6). Тогда утверждение (формула) верно для всех .

Ответ: получена формула: = для суммы заданной последовательности.

Пример 1–09: Пусть имеем две числовые последовательности: ,. Известно, что некоторого верно: >, и для всех верно неравенство: ()>(). Доказать, что для всех верно неравенство: .

Решение:

1). По условию: при значении высказывание верно.

2). Сложив неравенства: () >() и , получаем → высказывание верно для (+1).

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; представляет интерес её применение!

Пример 1–10: Доказать неравенство, что ++ .... + > выполняется для всех натуральных .

Решение:

1). Проверим выполнение неравенства при =3: =++=> → верное.

2). Запишем: ()=+....+++–––....–, которое, достаточно просто, преобразуем к виду: ()=–>0. Вычисление разности: ()=0 → получаем → высказывание верно для (+1).

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; полученное неравенство применяют в математическом анализе при доказательстве расходимости гармонического ряда: =++....+!

Пример 1–11: Пусть , – две последовательности положительных чисел. Известно, что некоторого верно: >, и для всех верно неравенство: >. Доказать, что для всех верно неравенство: .

Решение:

1). По условию: при значении высказывание верно.

2). Перемножив неравенства: > и , получаем → высказывание верно для (+1). При перемножении неравенств важно требование: члены обеих последовательностей – положительные числа!

3). Тогда утверждение верно для всех .

Ответ: теорема доказана; представляет интерес её применение!

Пример 1–12: Применим результат Примера 1–11 к нескольким уже решённым задачам и к новым!

Решение:

1). Доказать, что неравенство: > верно при всех . В Примере 1–04 показано выполнение неравенства при =5, выполнение неравенства: > при значениях очевидно → высказывание верно для (+1).

2). Доказать, что неравенство: ! ≥ верно при всех . Выполнение неравенства при =4 - очевидно, выполнение неравенства: > при значениях тоже очевидно → высказывание верно для (+1).

Ответ: теоремы доказаны эффектно!

Пример 1–13: Доказать, что для любого натурального числа >7 найдутся натуральные числа k,m, такие, что =3k +5m.

Решение:

1). Проверим выполнение неравенства при =8: 8 = 3·1 +5·1 → верное.

2). Пусть P(n) верно для всех значений: =3k +5m. Запишем выражения для:

→n+1= 3(k+2) +5(m-1) +9=3(k-1) +5(m-1) =3+5;

→n+2= 3(k+2) +5(m-1) +10=3(k-1) +5(m+1) =3+5;

→n+3= 3k +5m +3=3(k+1)+5m.

3). Тогда утверждение верно для всех >7.

Ответ: теорема доказана (эффектно!). Шутка: достаточно иметь купюры по 3 и 5 рублей, чтобы разменять любую сумму C ≥8 рублей!

Рассмотренные примеры раскрывают многообразие способов применения метода математической индукции. Важно воспринять великолепное изящество мысли человеческой! Особенно в собственном исполнении каждым обучающимся!..

☻