Московский государственный институт электронной техники
(технический университет)
А. И. Литвинов, Д. А. Литвинов
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
для самостоятельной работы студентов
по «Линейной алгебре»
Утверждено методическим советом каф. ВМ-2
Зав. кафедры С. Г. Кальней
МИЭТ, 2010г.
—————————————————————————————————
…Ученье – свет!..
А неучёных тьма!.
(Народное творчество)
Пособие соответствует утвержденному «Семестровому плану» по предмету «Линейная алгебра» факультета ЭТМО – семестр 1.
При подготовке пособия учитывалась тесная связь и взаимное проникновение средств аналитической геометрии и линейной алгебры.
Высшая алгебра содержит много направлений и продолжает интенсивно развиваться. Как и всякая другая математическая наука, алгебра эффективно обслуживает многие области знаний и практики. Изучаемый на факультете ЭТМО курс затрагивает только небольшую часть алгебры – «линейную алгебру». Учитывая непривычность используемых в линейной алгебре математических конструкций, одной из важных задач данного пособия было иллюстрироватьи максимальноформализоватьпроцесс изучения предмета и его практического использования. Представленные в пособии примеры должны помочь студентам выполнить все текущие задания, а также качественно подготовиться к зачетам и экзаменам по настоящему курсу.
Основные обозначения:
►и ◄ - начало и окончание доказательства.
☺☺ - поясняющие примеры.
Пример G–Х: - обозначение поясняющих примеров, где «G» указывает номер главы, в которой приводится пример, «Х» - порядковый номер поясняющего примера в главе.
☻ - окончание блока поясняющих примеров.
☺☻☺ - обобщающие примеры.
Пример N–Х: - обозначение обобщающих примеров, где «N» указывает порядковый номер примера в изучаемой главе, «Х» - номер задачи в базовом задачнике по изучаемому предмету.
☻ - окончание блока обобщающих примеров.
а
A - элемент
а
принадлежит множеству A.
а
A - элемент
а
не принадлежит множеству A.
N - множество натуральных чисел.
Z - множество целых чисел.
Q - множество рациональных чисел.
R - множество вещественных чисел.
C - множество комплексных чисел.
а - вектор.
|а| - длина (норма) вектора.
a+b - сумма векторов a и b.
λa - произведение вектора a на число λ.
(a,b) - скалярное произведение векторов a и b.
det A - определитель матрицы A.
A-1 - обратная матрица к матрице A.
Буквы латинского алфавита
-
Начертание
Произношение
Начертание
Произношение
Начертание
Произношение
A a
а
J j
йот
S s
эс
B b
бэ
K k
ка
T t
тэ
C c
цэ
L l
эль
U u
у
D d
дэ
M m
эм
V v
вэ
E e
е
N n
эн
W w
дубль-вэ
F f
эф
O o
о
X x
икс
G g
же
P p
пэ
Y y
игрек
H h
аш
Q q
ку
Z z
зэт
I i
и
R r
эр
Буквы греческого алфавита
-
Начертание
Произношение
Начертание
Произношение
Начертание
Произношение
A α
альфа
I ι
йота
P ρ
ро
B β
бета
K κ
каппа
Σ σ
сигма
Г γ
гамма
Λ λ
ламбда
T τ
тау
Δ δ
дельта
M μ
ми
Υ υ
ипсилон
E ε
эпсилон
N ν
ни
Ф φ
фи
Z ζ
дзета
Ξ ξ
кси
X χ
хи
H η
эта
O ο
омикрон
Ψ ψ
пси
Θ θ
тэта
П π
пи
Ω ω
омега
Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо «же» говорят также «ге», вместо «жи» - «йот»).
Таблица важных «алгебраических действий»
(для успешно сдавших ЕГЭ)
-
│
1
х
1
=
1
2
х
1
=
2
3
х
1
=
3
1
х
2
=
2
2
х
2
=
4
3
х
2
=
6
1
х
3
=
3
2
х
3
=
6
3
х
3
=
9
1
х
4
=
4
2
х
4
=
8
3
х
4
=
12
1
х
5
=
5
2
х
5
=
10
3
х
5
=
15
1
х
6
=
6
2
х
6
=
12
3
х
6
=
18
1
х
7
=
7
2
х
7
=
14
3
х
7
=
21
1
х
8
=
8
2
х
8
=
16
3
х
8
=
24
1
х
9
=
9
2
х
9
=
18
3
х
9
=
27
│
-
│
4
х
1
=
4
5
х
1
=
5
6
х
1
=
6
4
х
2
=
8
5
х
2
=
10
6
х
2
=
12
4
х
3
=
12
5
х
3
=
15
6
х
3
=
18
4
х
4
=
16
5
х
4
=
20
6
х
4
=
24
4
х
5
=
20
5
х
5
=
25
6
х
5
=
30
4
х
6
=
24
5
х
6
=
30
6
х
6
=
36
4
х
7
=
28
5
х
7
=
35
6
х
7
=
42
4
х
8
=
32
5
х
8
=
40
6
х
8
=
48
4
х
9
=
36
5
х
9
=
45
6
х
9
=
54
│
-
│
7
х
1
=
7
8
х
1
=
8
9
х
1
=
9
7
х
2
=
14
8
х
2
=
16
9
х
2
=
18
7
х
3
=
21
8
х
3
=
24
9
х
3
=
27
7
х
4
=
28
8
х
4
=
32
9
х
4
=
36
7
х
5
=
35
8
х
5
=
40
9
х
5
=
45
7
х
6
=
42
8
х
6
=
48
9
х
6
=
54
7
х
7
=
49
8
х
7
=
56
9
х
7
=
63
7
х
8
=
56
8
х
8
=
64
9
х
8
=
72
7
х
9
=
63
8
х
9
=
72
9
х
9
=
81
│
(… намёк, добрым молодцам урок!..)
СОДЕРЖАНИЕ:
Стр.
Глава 1. Общие сведения.
§ 1. Числовое кольцо и поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 2. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 3. Матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§ 4. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 5. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 6. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Глава 2. Определители 2-го и 3-го порядков.
§ 1. Определители второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 2. Определители третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 3. Обобщающие примеры по теме «Определители 2-го и 3-го порядка» . . . . . . . . . . . . . . 35
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Глава 3. Определители n-го порядка.
§ 1. Перестановки и подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§ 2. Определители n-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 3. Обобщающие примеры по теме «Определители n-го порядка» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Глава 4. Алгебра матриц.
§ 1. Сложение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 2. Умножение матрицы на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
§ 3. Умножение матрицы на матрицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 4. Теорема умножения определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 5. Обобщающие примеры по теме «Алгебра матриц» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Глава 5. Обратная матрица.
§ 1. Определение единичной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 2. Определение обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 3. Вычисление обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 4. Матричное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
§ 5. Обобщающие примеры по теме «Обратная матрица» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Глава 6. Линейное пространство n-векторов.
§ 1. Определение n-векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 2. Линейная зависимость n-векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 3. Ранг системы n-векторов и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Линейное пространство n-векторов» . . . . . . . . . . . . 125
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Глава 7. Системы линейных неоднородных уравнений.
§ 1. Классификация систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
§ 2. Решение системы уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
§ 3. Решение системы уравнений по правилу Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 4. Исследование (решение) системы уравнений в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
§ 5. Обобщающие примеры по теме «Системы линейных неоднородных уравнений» . . . . 149
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Глава 8. Системы линейных однородных уравнений – ЛОУ.
§ 1. Общая запись системы однородных линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 2. Решение системы однородных уравнений методом Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 3. Общее и частное решения системы линейных однородных уравнений . . . . . . . . . . . . 160
§ 4. Фундаментальная система решений системы ЛОУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 5. Связь решений неоднородной и однородной систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 6. Обобщающие примеры по теме: «Системы однородных линейных уравнений» . . . . . 173
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Глава 9. Линейные векторные пространства.
§ 1. Определение линейного векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§
2. База (базис)
в
-
мерном векторном пространстве . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§
3. Матрица
перехода от базы 
к базе
в
-
мерном векторном пространстве . . . .
. 188
§
4. Изоморфизм
-
мерных векторных пространств . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 5. Подпространства линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
§ 6. Преобразование координат вектора при переходе к новой базе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Линейные векторные пространства» . . . . . . . . . . . . 199
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Глава 10. Линейные преобразования (операторы).
§ 1. Определение линейного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§ 2. Операции над линейными преобразованиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
§ 3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису . . . . . 215
§ 4. Область значений и ядро линейного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
§ 5. Характеристические корни, собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 6. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду . . . . . . . . . . 224
§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Линейные преобразования» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Глава 11. Квадратичные формы.
§ 1. Определение. Преобразования квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 2. Закон инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 3. Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий Сильвестра . . . . . . 257
§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Квадратичные формы» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Глава 12. Евклидовы векторные пространства.
§ 1. Определение. Изоморфизм евклидовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
§ 2. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского . . . . . . . . 275
§ 3. Ортогональная система векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
§ 4. Ортонормированный базис евклидова пространства. Ортогональное дополнение . . . 278
§ 5. Линейные преобразования евклидова пространства.
Ортогональные и симметрические преобразования евклидова пространства . . . . . . . 282
§ 6. Приведение квадратичной формы к главным осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
§ 7. Пары форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
§ 8. Обобщающие примеры по теме: «Евклидовы векторные пространства». . . . . . . . . . . 302
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Глава 1. Общие сведения.
В настоящей главе представлены сведения, которые должны быть известны студентам из школьной программы. Не все школы уделяют достаточно внимания систематизации основных понятий и принятых в математической литературе обозначений. Представленная информация поможет более эффективному изучению предмета.
§ 1. Числовое кольцо и поле.
Определение 1. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом.
-
Примеры числовых колец:
1.
целые числа – Z;
5.
четные числа (обозначение: 2k);
2.
рациональные числа – Q;
6.
целые числа, нацело делящиеся на целое число k;
3.
действительные числа - R;
7.
несократимые дроби, знаменатели которых являются степенями простого числа p.
4.
комплексные числа – C;
Если какая-либо операция (сумма, разность или произведение) выводит из рассматриваемой системы чисел, то такая система чисел кольцом не является.
-
Числовыми кольцами не являются:
1.
натуральные числа – N
- при a=b не существует a–b, так как N не содержит числа 0 (нуль);
- при a
b
не существует либо число a–b,
либо b–a,
так как одно из них отрицательно, а
таких нет среди N.2.
система положительных чисел– R+
не существует либо a–b, либо b–a: одно из них отрицательно, а таких нет среди R+;
3.
система отрицательных чисел–R–
произведение отрицательных чисел a,b есть число положительное, а таких нет среди R–;
4.
нечетные числа – N2k+1
сумма и разность нечетных чисел есть число четное, а таких нет среди N2k+1.
Определение 2. Числовым полем называется числовое кольцо, которое содержит частное любых своих двух чисел (делитель, конечно, отличен от нуля).
Примеры числовых полей:
- рациональные числа – Q;
- действительные числа – R;
- комплексные числа – C.