§ 6. Некоторые задачи в пространстве.

Угол между заданными плоскостями α₁ и α₂. Прежде чем определять аналитические выражения для вычисления угла между двумя плоскостями, необходимо вспомнить определение двугранного угла, образуемого пересекающимися плоскостями.

Считается, что угол между параллельными плоскостями равен нулю. Пусть плоскости и пересекаются и образуют двугранный угол. Проведём плоскость , перпендикулярную линии (прямой) их пересечения . Эта плоскость пересекает плоскости и по двум прямым. Обозначим эти прямые и . Угол между прямыми и называется углом между данными плоскостями, или линейным углом двугранного угла плоскостей и . Отметим, что прямая перпендикулярна прямым и .

Итак, геометрически угол между двумя плоскостями определён однозначно. Пусть заданы уравнения плоскостей : и : . Это значит, что определены векторы: , . Определим угол между этими плоскостями.

Если поместить векторы и в плоскость , то, используя известную теорему из планиметрии, можно заметить, что угол между плоскостями и можно измерять углом между векторами и . При этом следует учитывать, что угол между векторами измеряется величиной: , а угол между плоскостями: величиной: . Это значит, что если между векторами и вычислен угол , то его принимают как угол между плоскостями, если вычислен угол , то угол между плоскостями измеряют величиной: .

Измерение угла между векторами и не представляет большого труда:

1). Вычисляем скалярное произведение: .

2). Если: , то плоскости взаимно перпендикулярны.

3). Если: , то вычисляют: =. Далее, учитывая, что для плоскостей , переходят к вычислению – угол между плоскостями и .

Угол между плоскостью α и прямой l. Пусть прямая пересекает плоскость , но не перпендикулярна ей. В этом случае мы можем говорить о проекции прямой на плоскость . Обозначим прямую проекции как . Угол между прямыми и есть угол между прямой и плоскостью .

Пусть заданы общее уравнение плоскости α: и каноническое уравнение прямой : . Вычислим угол между плоскостью и прямой.

Воспользуемся тем, что уравнение плоскости однозначно определяет вектор нормали: =, а уравнение прямой определяет направляющий вектор =. Если обозначить угол между прямой и перпендикуляром к плоскости через , то, нетрудно заметить. что выполняется соотношение: . Это значит, что вычислив один из углов, легко вычисляем другой. Вычислим угол :

1). Вычисляем скалярное произведение: .

2). Если: =0, то прямая параллельна плоскости .

3). Если: , то вычисляем: =. Далее, учитывая, что , вычисляем .

Из тригонометрии известно, что при условии: для любых выполняется равенство: . Это значит, что можно также пользоваться выражением:

. (17)

Точка пересечения плоскости α с прямой l. Учтём, что всякая геометрическая фигура – это множество точек. Если какая-то из точек одновременно принадлежит нескольким геометрическим фигурам, говорят, что такая точка есть точка пересечения этих геометрических фигур.

Учитывая геометрические свойства плоскости и прямой, легко предположить, что возможны случаи:

1). Плоскость и прямая имеют только одну общую точку – прямая пересекает плоскость.

2). Плоскость и прямая не имеют общих точек – прямая параллельна плоскости.

1). Плоскость и прямая имеют бесчисленное множество общих точек – прямая принадлежит плоскости.

Пусть заданы общее уравнение плоскости : и каноническое уравнение прямой : . Удобно представить уравнение прямой в параметрической форме: , , . Подставляя значения в общее уравнение плоскости, получим:

. (18)

Из уравнения (18) необходимо найти значение: =. Возможны случаи:

1). Пусть ·=. Это значит, что векторы и взаимно перпендикулярны. Если точка принадлежит плоскости , то прямая принадлежит плоскости и (18) выполняется при любом значении параметра : пересечение прямой и плоскости содержит бесчисленное множество точек. Если точка не принадлежит плоскости , то прямая и плоскость параллельны: пересечение прямой и плоскости не содержит точек.

2). Пусть ·=. В этом случае из равенства (18) имеет единственное решение: =. Получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости: , , .

Взаимное расположение прямых l₁ и l₂. Пусть прямые и определены каноническими уравнениями: для : и для : . Из уравнений выделим:

– параметры прямой : направляющий вектор =, точка ;

– параметры прямой : направляющий вектор =, точка .

Вопрос о взаимном расположении двух прямых в пространстве можно решать, определив три частные задачи:

1). Выяснить, прямые и принадлежат одной плоскости или не принадлежат.

2). Вычислить угол, который образуют две заданные прямые и .

3). Вычислить расстояние между прямыми и .

Задача-1: Заданы две прямые: и . Выяснить, принадлежат ли эти прямые одной плоскости. Сразу заметим, что если и параллельны, то они (по определению) принадлежат одной плоскости, хотя их можно изобразить в параллельных плоскостях!

Для обнаружения параллельности прямых и достаточно использовать признак коллинеарности направляющих векторов этих прямых: .

Прямые и совпадают, если коллинеарны все векторы: ,,.

Если выявлено, что прямые не параллельны и не совпадают, может представиться два случая: прямые пересекаются, то есть принадлежат одной плоскости, или они скрещивающиеся: одной плоскости не принадлежат.

Прямые пересекаются.	Прямые скрещивающиеся.

Пусть направляющий вектор прямой : вектор приложен к точке , а направляющий вектор прямой : вектор к точке .

Если прямые и пе­ре­секаются (точка пересечения обозначена точкой ), то векторы , , компла­нарны. Известно, что условием компланарности является:

==0.

При рассмотрении смешанного произведения трёх векторов было установлено, что выполнение условия: 0 означает, что эти векторы не принадлежат одной плоскости. Последнее равносильно утверждению, что прямые и не принадлежат одной плоскости, то есть скрещивающиеся.

Задача-2: Заданы две прямые: и . Вычислить угол между этими прямыми при условии, что эти прямые представляют все возможные случаи их взаимного расположения.

Если прямые и параллельны, то считают, что угол между ними равен 0.

Если прямые и пересекаются, то они образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, смежные в сумме составляют , то есть . Углом между прямыми и считают меньший из двух смежных углов. Это значит, что . Если , то есть , то отмечают, что в этом, частном, случае прямые и взаимно перпендикулярны.

Если прямые скрещивающиеся, то углом между ними называют угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся.

Пусть заданы канонические уравнения прямой : и прямой : . Для вычисления угла можно использовать формулу:

= → =. (19)

Задача-3: Заданы две прямые: и . Вычислить расстояние между этими прямыми, рассмотрев все возможные случаи их взаимного расположения.

Необходимо отметить, что понятие расстояние, принятое в геометрии, существенно сложнее, используемого в обыденной практике. При определении расстояния от одной точки до другой трудностей не возникает. На интуитивном уровне понятно, что имеется в виду, когда говорят о длине прямолинейного отрезка: это понимание отражено в аксиомах геометрии. А как ответить на вопрос: каково наименьшее и наибольшее расстояния между точками отрезка? Если вспомнить, что в геометрии точка не имеет размера, то наименьшим расстоянием между точками отрезка есть ноль, а наибольшим – длина отрезка.

Если окружность рассматривать как множество точек, то наибольшим расстоянием между точками окружности есть диаметр. Если такой же вопрос решается по отношению к произвольной плоской фигуре, то для неё наибольшее расстояние между точками определяется диаметром описанной окружности. Это позволяет устанавливать размер (наибольший) конкретной фигуры. Аналогично решается вопрос в 3-х мерном пространстве: используется шар.

Если рассматривается две геометрические фигуры, то часто приходится решать вопрос о расстоянии между ними. Это приводит к понятию наименьшего расстояния между множествами точек этих фигур. Такая задача значительно более сложная, чем задача установления размеров фигур!

Расстояние (наименьшее) от точки до точек прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Очевидно, это расстояние равно нулю, если точка принадлежит прямой.

Если в 3-х мерном пространстве имеем две прямые: и , то вопрос о расстоянии множества точек от множества точек зависит от случая:

A: если прямые пересекаются, то расстояние между ними равно нулю;

B: если прямые параллельны, то расстояние между ними равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую;

C: если прямые скрещивающиеся, то расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра заданных прямых.

Для случая A вопрос решён. Рассмотрим отдельно задачи B и C, принимая, что прямые произвольно располагаются в пространстве.

Задача-B: Решен

ие этой задачи сводится к вычислению расстояния от точки до прямой. Для этого достаточно на одной из прямых выделить произвольную точку.

Пусть точка отдельная точка пространства или произвольная точка, принадлежащая прямой (на рисунке не показана!), которая па­рал­лель­на прямой . Пусть уравнение :

.

Из уравнения выделим принадлежащую ей точку и направляющий вектор =. В соответствии с рисунком, учитывая ранее полученные результаты, можем записать:

, (20)

где S – площадь параллелограмма, определяемого векторами и ; – искомое расстояние от точки до прямой (или между параллельными прямыми).

Задача-C: Решение этой задачи сводится к вычислению высоты параллелепипеда с основанием, определяемым направляющими векторами , прямых и .

Прежде всего необходимо отметить, что всегда возможно поместить скрещивающиеся прямые в параллельные плоскости, определяемые векторами ,: так как векторы свободные, можно точкой их при­ложения выбирать и точку , и точку , принадлежащие рассматриваемым прямым. Обозначим: – объём параллелепипеда, – вектор, соединяющий представленные в уравнениях прямых точки : , : , – площадь основания параллелепипеда. В соответствии с рисунком, учитывая ранее полученные результаты, можем записать:

. (21)

В представленных ниже примерах подробно иллюстрируются возможности средств аналитической геометрии при решении достаточно сложных задач.

☺☺

Пример 4–27: Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: 1):;:;

2) :;:;

3) :;:.

Решение:

Общее: Если плоскости и перпендикулярны, то = 0. Проверим это условие в каждом варианте.

Имеем: 1) =(3,-1,-2)·(1,9,-3) = 0 → перпендикулярны;

2) =(2,3,-1)·(1,-1,-1) = 0 → перпендикулярны;

3) =(2,-5,1)·(1,0,-3) ≠ 0 → не перпендикулярны.

Ответ: подробно в тексте.

Пример 4–28: При каком значениипрямая:пересекает: 1) ось; 1) ось; 1) ось.

Решение:

Общее: Линия пересечения заданных плоскостей состоит из общих точек плоскостей: обозначим как. Обозначим прямую, которую должна пересекать прямая, как. Тогда, в зависимости от случая, будем принимать:

1): =, 2)=, 3)=.

Так как линия должна пересекать прямую, то и каждая из плоскостей должна пересекать эту прямую, причём обе в одной и той же точке.

Применим общие соображения к каждому из заданных в задаче случаев.

1). Примем: =. На оси каждая точка имеет: , . Из второго уравнения получаем: . Подставляя координаты точки в первое уравнение, получаем: =–4.

2). Примем: =. На оси каждая точка имеет: , . Из второго уравнения получаем: . Подставляя координаты точки в первое уравнение, получаем: =9.

3). Примем: =. На оси каждая точка имеет: , . Из второго уравнения получаем: . Подставляя координаты точки в первое уравнение, получаем: =3.

Ответ: 1): =–4, 2):=9, 3):=3.

Пример 4–29: Плоскости:и:образуют двугранные углы. Определить тот двугранный угол, внутри которого расположена заданная точка:(1,1,8).

Решение:

Для решения задачи удобно использовать рисунок:

1). Используя исходные уравнения плоскостей, то есть не нормируя их, вычислим величины: = 2·1–1+2·8–3>0 и = 6·1–2·1–3·8+8<0.

2). В соответствии с рисунком можем считать: точка расположена над плоскостью и под плоскостью . Это значит, что искомый угол равен: .

3). Вычислим указанный угол: =. Тогда можно записать: =.

Ответ: угол: =, двугранный угол показан на рисунке.

Пример 4–30: Составить уравнение прямой, которая проходит через точку(–1,2,–3) перпендикулярно вектору=(6,–2,–3) и пересекает прямую:.

Решение:

Замечание: обозначения, применённые в условии задачи, ориентированы на удобство применения общих аналитических выражений и наглядность построения алгоритмов решения задачи.

Геометрические штрихи: 1) искомая прямаядолжна принадлежать плоскости, проходящей через точкуи имеющей вектор нормали, 2) прямаядолжна пересекать заданную прямую. Принятые обозначения соответствуют рисунку:

Схема решения:

1) построим уравнение плоскости, по заданной точке и вектору нормали плоскости , используя – общее уравнение плоскости;

2) найдем точку пересечения плоскости α и прямой , вычисляя для параметрических уравнений прямой ;

3) построим направляющий вектор искомой прямой , а именно = ;

4) построим каноническое уравнение искомой прямой . Использование рисунка помогает видеть шаги решения.

В соответствии с принятой схемой решения задачи выполним запланированные действия.

1). Учитывая: (–1,2,–3) и =(6,–2,–3), получаем для плоскости : .

2). Вычислим для точки параметр: . Это значит: ==(1,–1,3).

3). Построим направляющий вектор прямой . Вычислим: = =(2,–3,6).

4). По вектору и точке прямой получаем уравнение: . Записываем ответ.

Ответ: уравнение прямой :.

Пример 4–31: Составить уравнение прямой, которая проходит через точку(–4,–5,3) и пересекает две прямые:и:.

Решение:

Геометрические штрихи: 1) искомая прямаядолжна принадлежать плоскости, проходящей через точкуи прямую, 2) прямаядолжна проходить через точку. Принятые обозначения соответствуют рисунку:

Схема решения: 1) построим уравнение плоскости , имея и ; 2) найдем точку пересечения плоскости и прямой ; 3) построим направляющий вектор = прямой ; 4) построим каноническое уравнение прямой .

Использование рисунка помогает видеть шаги решения.

1). Строим плоскость . На прямой имеем точку (–1,–3,2). Выделим на этой прямой ещё одну точку: из уравнения прямой при вычисляем и , получаем (5,–7,0). Строим векторы: ==(3,2,–1); ==(9,–2,–3); == . Записываем уравнение плоскости :

→: .

2). Найдем точку пересечения прямой и плоскости , учитывая точку (2,–1,1) и направляющий вектор =(2,3,–5) прямой:

→==(2,–1,1).

3). Построим вектор: ==(2,–1,1)–(–4,–5,3)=(6,4,–2)=2(3,2,–1). В качестве направляющего вектора прямой примем: =(3,2,–1).

4). Построим каноническое уравнение прямой , проходящей через точку с направляющим вектором : .

Ответ: прямая :.

Пример 4–32: Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями:и:

Решение:

Геометрические штрихи: известно, что общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых – отмечает кратчайшее расстояниемежду множествами точкамиэтих прямых.

1). Так как прямая должна содержать общий перпендикуляр прямых линий,, то направляющие векторы дляи, а также направляющие векторы дляидолжны быть взаимно перпендикулярными.

2). Обозначим направляющие векторы длякак, длякак, длякак. Используя уравнения прямых,, запишем векторы:=(3,–2,3),=(1,2,–1). Обозначим:,– концы общего перпендикуляра прямых. Тогда можем записать:

===.

3). Из условий: иследует:и.

Из первого уравнения запишем ;. Из второго, аналогично, получим;.

4). Из условий: иследует:

, (S)

.

5). Если в систему уравнений (S) подставит полученные в пункте 3) значения, то система (S) будет иметь только две неизвестные величины. Решение такой системы не представляет особого труда:. После этого, используя выражения для величинчерез величины, получим:,,==4. Удобнее использовать вектор=, коллинеарный найденному вектору.

6). Запишем уравнение в виде:или в виде:

Замечание: имея траекторию, можно изменять начальное время и смещать начальную точкувдоль траектории!

Ответ: уравнение :или.

Пример 4–33: Убедиться, что прямые:и:параллельны. Вычислить расстояниемежду ними.

Решение:

1). Для установления параллельности прямых необходимо иметь направляющие векторы этих прямых в явном виде. Так как направляющий вектор прямой выделяется легко:=(3,–1,4), остаётся найти направляющий векторпрямой.

2). Из записи системы уравнений прямой нетрудно записать векторы:=(2,2,–1) и=(1,–1,–1). Остаётся применить операцию=:

==·–·+·=(–3,1,–4) → примем =(3,–1,4).

3). Прямые ипараллельны, так как параллельны их направляющие векторы. Первая часть задания выполнена.

4). Теперь, используя систему уравнений прямой , выделим произвольную точку, принадлежащую этой прямой. Для этого примем(обеспечиваетудобныезначения для координат,) и вычислим=0,=–4. Получена точка:(0,–4,–18).

5). Обозначим точку, принадлежащую пря­мой, как. Из уравнения этой прямой легко определить:(–7,5,9). Построим вектор=–=(7,–9,–27).

6). Обозначим точку, принадлежащую пря­мой , как. Из уравнения этой прямой легко определить:(–7,5,9). Построим вектор=–=(7,–9,–27).

7). В соответствии с рисунком, учитывая ранее полученные результаты, можем записать:

,

где – площадь параллелограмма, определяемого векторами и ; – расстояние между заданными прямыми.

В нашем случае ==, =. Подставляя полученные величины в формулу для расстояния , получим: =.

Ответ: расстояние: = 25.

Пример 4–34: Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые:

: ; : .

Решение:

Геометрические штрихи: известно, что прямая, перпендикулярная к двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна этой плоскости; это значит векторявляется нормалью плоскости, и можно записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Из условия имеем: (2,–1,3), (1,2,–3), =–= (–1, 3,–6); =(3,2, –2). Вычислим вектор нормали: .

Обозначив выделенную точку (2,–1,3)= , учитывая вектор , запишем общее уравнение искомой плоскости:

Ответ: плоскость: .

Пример 4–35: Составить параметрические уравнения прямой l₄, которая проходит параллельно плоскостям : и : и пересекает прямые: : ; : .

Решение:

Геометрические штрихи:

1). Из рисунка видим, что, в соответствии с условиями задачи требуется построить прямую . Эта прямая параллельна плоскостями. Это значит, что она параллельна их линии пересечения.

2). Прямая пересекает прямую. Это значит, что эти прямые образуют плоскость. Плоскостьвполне определяется вектором нормали:=и точкой.

3). По условию задачи прямая должна пересекать прямую. Так как прямаяпринадлежит плоскости, то она должна проходить через точкупересечения прямойс плоскостью.

4). Так как, по условию, прямая параллельна прямой, то её направляющим вектором может служить вектор. Вектори точкаполностью определяют прямую.

Замечание: настоящая задача относится к наиболее сложным в рассматриваемой теме задачам, но, будем надеяться, её геометрическая иллюстрация раскроет необыкновенную красоту этой задачи, а также великолепные возможности аналитической геометрии!

На рисунке показана точка пересечения прямых и . По условию задачи её не требуется находить, но её присутствие на рисунке поможет цельному восприятию условия задачи!

Приступим к реализации намеченного плана решения задачи, используя весь опыт решения предыдущих примеров рассматриваемой темы.

1). Из уравнений для плоскостей ивыделим векторы:=(3,12,–3) и=(3,–4,9). Вычислим направляющий вектор=прямой:

==·–·+·=(96,–36,–48) → примем =(8,–3,–4).

2). Построим плоскость . Из уравнения прямойлегко выделяем вектор=(2,–4,3). Плоскостьвполне определяется вектором нормали:=и точкой. Вычисление вектораосуществляется по той же формуле, что и для вектора, то есть=–(25,32,26). Используя вектори точку(–5,3,–1), получаем уравнение:.

3). Найдём точку , принимая=(3,–1,2) и=(–2, 3,4) для прямой. Значение параметрадля точки пересечения прямойи плоскостивычисляем по формуле:

.

Тогда из уравнений : = –1 получаем = (5,–4,–2).

4). Составим прямой , имея направляющий вектор=и точку:

: , или .

Замечание: следует иметь в виду, что в уравнении прямойможно менять точку, показанную в числителях дробей: при=–1 получим точку:=(–3,–1,2)!

Ответ: прямая :или, или.

☻