§ 5. Уравнение прямой в пространстве.

Для определения уравнения прямой отметим особенности этой геометрической фигуры. Первичным (аксиоматическим) свойством прямой является: через две точки можно провести только одну прямую.

Исходя из первичного свойства, можно заметить, что прямую, также однозначно, определяет точка и направление прохождения прямой через точку. Изучая геометрические векторы, мы выделяли одно из важных свойств вектора – направление. Воспользуемся этим свойством.

Каноническое уравнение прямой. Пусть задана точка , лежащая на прямой , и задано ее направление при помощи вектора . Необходимо построить уравнение этой прямой. Воспользуемся рисунком.

Обозначим произвольную точку пространства . Тогда прямая – это геометрическое место таких точек , что векторы и коллинеарны. Это значит: , или:

=.

Последнее равносильно уравнениям:

–канонические уравнения прямой в пространстве. (12)

Записи (12) уравнений прямой можно поставить в соответствие систему уравнений с общей переменной :

–параметрическая форма уравнений прямой. (13)

Замечания: 1). Равенство при значении =0 не имеет смысла, хотя геометрически ситуация вполне определена: точка совпадает с точкой .

2). Равенства (12) при =0 показывают, что , но для векторов и не является содержательным.

3). Равенства (13) в механической интерпретации можно рассматривать как прямолинейное движение точки с постоянной скоростью из начального положения . При =0 имеем начальное положение точки: =, что в механике вполне ожидаемо!

Теперь вполне логично рассмотреть задачу: получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки: , . Задача сводится к рассмотренной выше, если принять: = и :

или (14)

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Интересно определение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Плоскости , имеющие общую точку , пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Учитывая свойства прямой, можно продолжить: плоскости в этом случае имеют бесчисленное множество общих точек. Пусть имеем плоскости:

: и : .

Пересечение плоскостей соответствует аналитической модели в виде системы уравнений, включающей уравнения плоскостей:

(15)

Из геометрических соображений легко заметить, что система уравнений (15) не будет иметь решений, если плоскости параллельны. Если плоскости совпадают, то каждая точка , принадлежащая плоскости , принадлежит и плоскости . Это значит, система уравнений должна иметь бесчисленное число решений. Пересекающиеся плоскости тоже имеют бесчисленное множество общих точек, но только тех, которые принадлежат их линии пересечения. И опять система уравнений должна иметь бесчисленное число решений. Из элементарной (школьной!) алгебры известно: если уравнение одно, а неизвестных три, то для двух неизвестных нужно принять произвольные (допустимые!) значения, а значение третьей неизвестной вычислить из уравнения; если уравнений два, при трёх неизвестных, то произвольные значения присваивают одной из неизвестных, а значения остальных (двух) вычисляют, используя систему уравнений. В этом и кроется бесчисленное число решений системы (15). Если плоскости пересекаются, то решение системы уравнений (15) можно записать в виде:

, → , → z = t, (16)

где – параметр, а система уравнений (15) определяет прямую в пространстве в параметрической форме.

☺☺

Пример 4–23: Составить каноническое уравнение прямой:.

Решение:

1). Для решения задачи необходимо вспомнить, что для записи канонического уравнения прямой необходимо иметь одну точку , через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой.

2). Так как векторы нормалей плоскостей, уравнения которых представлены в системе, не параллельны: =(1,–2,3) и =(3,2,–5), то плоскости пересекаются, а значит, система имеет решения. Если принять: =0, то из системы легко находим решение: (2,–1,0)= . Если принять: =4, то из системы легко находим решение: (4,6,4)= .

3). Определим направляющий вектор прямой : ==(2,7,4). Запишем каноническое уравнение прямой : .

Ответ: уравнение прямой :.

Пример 4–24: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку(2,3,–5) параллельно прямой::.

Решение:

1). Из условия можем определить нормальные векторы плоскостей:=(3,–1,2) и =(1,3,–2).

2). Направляющий вектор прямой можно было бы найти так же, как и в предыдущем примере. Так как имеем точку , то проще вычислить направляющий вектор прямой из условия: =x=(–4,8,10). Так как важно только направление вектора, примем: =(2,–4,–5).

3). Составим каноническое уравнение прямой :

.

Ответ: прямая :.

Пример 4–25: Составить уравнение прямой:в параметрической форме.

Решение:

Из условия можем определить нормальные векторы плоскостей:=(3,2,4) для первой плоскости и =(2,1,–3) для второй. Видим, что плоскости не параллельны (нормальные векторы не параллельны!) искомая прямая, как линия пересечения плоскостей, существует.

Решение задачи проведём двумя способами и сравним их по сложности и трудоёмкости. Цель сравнения: выбрать более удобный способ для дальнейшего использования!

Способ-1: использование полученных ранее выражений (16) непосредственного перехода к параметрической форме задания прямой.

Для удобства запишем используемые формулы в общем виде:

:→:где:=,=,=,=.

Используя полученные ранее выражения (16), для вычисления ,,,запишем все необходимые формулы:

=,=,=,=,=.

1). Для вычисления направляющего вектора прямой достаточно вычислить величины:

==–1,==–10,==–17 →=10,=–17.

Это значит, что за направляющий вектор прямой можем принять:=(10,–17,1).

2). Для определения точки, принадлежащей прямой необходимо вычислить величины:

==9,==19 →=–9,=19.

Это значит, что прямой принадлежит точка:(–9,19,0).

3). В результате получено :или:.

Способ-2: использование векторов нормалей участвующих плоскостей для определения направляющего вектора прямой ; выделение точки из системы уравнений.

1). Определим векторы: =(3,2,4) и=(2,1,–3). Вычислим=:

==·–·+·=(–10,17,–1) → примем =(10,–17,1).

2). Определим одну из точек, принадлежащих прямой , используя систему уравнений. Пусть. Тогда из системы легко получаем решение:(–9,19,0).

Замечание: выделены очевидные преимущества Способа-2: схема вычислений проще и не требует дополнительного запоминания, так как использует известные операции с векторами (векторное произведение) и правило решения системы двух уравнений.

Ответ: =,=,=.

Пример 4–26: Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку(1,–1,–3) параллельно:а)вектору=(2,–3,4);б)прямой:;в)прямой: =,=,=.

Решение:

Общее: Для построения параметрического уравнения прямой необходимо определить одну точку , через которую проходит прямая и вектор , указывающий направление конкретной прямой.

Для всех исходных условий применим общий рисунок, не показывая систему координат и точное расположение заданных геометрических фигур.

1) В случае а) вектор задан непосредственно. Остаётся применить общую запись параметрических уравнений прямой:

2) В случае б) вектор задан косвенно: нужно вспомнить, что в каноническом уравнении прямой числа знаменателей дробей отражают вектор . В нашем случае: =(2,4,0). Остаётся применить общую запись параметрических уравнений прямой:

3) В случае в) вектор задан косвенно: нужно вспомнить, что в условии имеем параметрические уравнения прямой. Коэффициенты при в записи уравнений отражают вектор . В нашем случае: =(3,–2,5). Остаётся применить общую запись параметрических уравнений прямой:

Ответ: все уравнения показаны в тексте.

☻