§ 4. Пучок плоскостей.

Пучком плоскостей называют совокупность всех плоскостей, имеющих общуюлинию пересечения (ось пучка).

Пусть имеем плоскости :и:. Определим их линию пересечения заданием системы уравнений:

(9)

Имея линию пересечения (9), можно было бы выделять в пространстве плоскости, содержащие эту линию (прямую) и заданную точку . Оказывается, гораздо удобнее задать пучок плоскостей в виде равенства:

: +=0, (10)

или в форме: :+++=0, (11)

причем конкретные значения параметров и(их отношение!) определяют по дополнительной информации, выделяющей из пучка заданную плоскость. Так как по условию плоскости пересекаются, то коэффициенты при переменныхне могут одновременно обратиться в нуль, и для любых пар значенийи(10) или (11) определяет некоторую плоскость!

Из (10) видим, что при q=0 из пучка выделяется плоскость, а при=0 плоскость. Если в (10) подставить координаты точки линии пересечения, то обе скобки равенства обращаются в нуль (система(9)). Это значит плоскость (10) содержит линию пересечения.

☺☺

Пример 4–20: Составить уравнение плоскости , проходящей через точку (2,3,1) и прямую , определяемую плоскостями : и :.

Решение:

0). Если решать задачу с привлечением минимальных средств, то схема решения могла быть такой: найти линию пересечения заданных плоскостей и , провести плоскость через точку и любые две точки линии пересечения.

1). Мы воспользуемся свойством пучка содержать линию пересечения неявно. Для этого достаточно записать:

: +=0,

где и– произвольные числа.

2). Определим значения параметров и из условия :

·(2+3–2·1+1)+·(2·2–3+1–4)=0 →.

3). Приняв =1 и=2, получим: 1·+ 2·=0, выделяем из пучка искомую плоскость:, содержащую точку.

Ответ: уравнение :.

Пример 4–21: Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую, определяемую плоскостями : и :, и параллельной плоскости : .

Решение:

1). Обозначим вектор нормали произвольной плоскости пучка как , а искомой плоскости как вектор ==(5,–1,0).

2). Составим уравнение пучка плоскостей в виде:

: +=0,

или

: =0.

3). Так как из пучка плоскостей выделяется одна из плоскостей, то примем: =. Из равенства векторов получаем: =(5,–1,0), откуда имеем k=2.

4). После чего легко получаем уравнение искомой плоскости: .

Ответ: уравнение :.

Пример 4–22: Составить уравнение плоскости , принадлежащей пучку плоскостей : и : и равноудалённой от точек (3,–4,–6) и (1,2,2).

Решение:

0). Если решать задачу с привлечением минимальных средств, то схема решения могла быть такой: найти линию пересечения заданных плоскостей и , найти среднюю точку отрезка (обозначим её ) и провести плоскость через точку и любые две точки линии пересечения.

1). Составим уравнение пучка плоскостей в виде:

: 1·+=0, или:

: =0.

Замечание: Учитывая, что расстояния можно сравнивать, применяя один и тот же отрезок в качестве меры длины, не обязательно единичный (!), мы не станем «нормировать» уравнение плоскости.=.

Так как решение одной и той же задачи разными способами особенно полезно в освоении любой области знаний, применим два вполне рациональных, использующих уже рассмотренные примеры, способа.

Способ-1: выделение плоскости из пучка при помощи точки .

2). Вычислим координаты точки из условия: 2=+=(4,–2,–4), откуда =(2,–1,–2).

3). Определим значение параметра из условия :

=0, откуда =–2.

4). Уравнение искомой плоскости :.

Способ-2: выделение плоскости из пучка при помощи свойства равной удалённости от заданных точек ,.

5). Так как точки и располагаются по разные стороны плоскости =, то величины и имеют разные знаки. Но мы сравниваем расстояния, и потому необходимо это отразить в виде условия: =–, или +=0. Учитывая координаты точек и , получаем:

(3+2k)·3–(4+3k)·(–4)+(1+k)·(–6)+(6+2k)+(3+2k)·1–(4+3k)·2+(1+k)·2+(6+2k)=0, откуда =–2.

3). Уравнение искомой плоскости :.

Замечание: сравнение способов показывает значительный выигрыш по трудоёмкости у способа-1, также в этом способе удаётся обойтись меньшим количеством средств.

Ответ: уравнение :.

☻