§ 3. Нормальное уравнение плоскости.

Получение уравнения плоскости в нормальном виде представляет интерес даже с формальной точки зрения: как развитие аналитических моделей геометрических фигур при переходе от двумерного пространства к 3-мерному. С другой стороны, от нормального уравнения плоскости мы ожидаем расширения наших возможностей при решении более сложных геометрических задач.

Пусть точка и . Пусть единичный вектор совпадает по направлению с вектором . Известно, что любой вектор можно представить как: , где – направляющие косинусы вектора .

Учитывая: =1, представим вектор в виде: . Отметим на плоскости произвольную точку: ==.

Используя заданные условия и принятые обозначения, запишем (используя скалярное произведение векторов и формулу для вычисления проекции вектора на направление ):

=====,

откуда получаем: . (1)

Уравнение (1) называют нормальным уравнением плоскости. Если уравнение (1) рассматривать как общее уравнение плоскости, то, как легко заметить, нормальный вектор этой плоскости единичный.

Отнесёмся к выражению: формально. Учитывая способ получения нормального уравнения (1), нетрудно догадаться, что для всех точек пространства , принадлежащих плоскости величина =0. А что будет происходить с величиной , если выбирать произвольные точки пространства?

Пусть – произвольная точка пространства и – некоторая плоскость пространства. Пусть точка , причём . Пусть единичный вектор совпадает по направлению с вектором и представлен в виде: .

Найдём проекцию точки на направление : обозначим проекцию как точку . В таком случае длина отрезка равна расстоянию точки от начала координат .

Вычислим =+. При получении нормального уравнения плоскости было показано, что =. Тогда:

=,

после чего можем записать: =–==[вспомним обозначение]= .

Итак, геометрический смысл величины – отклонение произвольной точки пространства от плоскости , причём = – расстояние этой точки до этой плоскости.

Возникает вопрос: почему для нахождения расстояния потребовался модуль ? Ответ легко видеть из рисунка:

а) если точки и располагаются по разные стороны от плоскости , то >0;

б) если точки и располагаются по одну сторону от плоскости , то <0.

Ещё раз отметим, что величина – это расстояние произвольной точки пространства до заданной плоскости, причём со знаком! Знак отражает процесс проектирования вектора на направление вектора , а именно: =. Так как вектор единичный, то получаем длину отрезка: ==, измеренную при помощи единичного вектора .

Если уравнение плоскости задано в общем виде: , то его можно нормировать, то есть привести к записи (1). Это делают так:

1). Умножим общее уравнение плоскости на число : . (2)

2). Пусть получили тождество: . Тогда необходимо:

→; → (3)

Замечания:1). В результате нормализации вектор нормали плоскости преобразован в единичный вектор:=→=, причем=1.

2). Смысл правил выбора знака величиныtв преобразованиях (3), будет установлен при рассмотрении задачи вычисленияотклоненияпроизвольной точкиот заданной плоскости.

Замечание: При решении задачи «Пересекает ли отрезокплоскость» достаточно подставить координаты этих точек в заданное уравнение плоскости (не обязательно нормированное!), чтобы установить:пересекает плоскость, если вычисленные значения правой части уравнения плоскости имеют разные знаки;не пересекает плоскость, если знаки совпадают.

☺☺

Пример 4–13: Определить, какие из следующих уравнений плоскостей являются нормальными:

1): , 2): , 3): .

4): , 5): , 6): .

Решение:

1). Общее: для всех представленных уравнений необходимо проверить равенство =1 и знак величины . Необходимо , так как отклонение точки от заданной плоскости должно быть отрицательным.

2). В результате проверки имеем: нормальными являются записи: 1), 4), 5).

Ответ: нормальными являются записи: 1), 4), 5).

Пример 4–14: Вычислить величину отклонения и расстояние от точки до плоскости в каждом из следующих случаев: а) (–2,–4,3), : ; б) (2,–1,–1), :; с) (1,2,–3), : .

Решение:

0). Общее: сначала проверяем условие ; если условие выполняется, то =0 и =0, если не выполняется, то нормализуем заданные уравнения; вычисляем и .

1). В нашем случае в случае с) условие выполняется  =0 и .

2). Нормализуем уравнения: а) –(2x–y+2z+3)=0, б) (16x–12y+15z–4)=0.

3). Вычисляем: а) =–(2(–2)–(–4)+23+3)=–3,=3, б) =(162–12(–1)+15(–1)–4)=1,=1.

Ответ: а) =–3,=3; б) =1,=1; с) =0,=0.

Пример 4–15: Доказать, что плоскость : пересекает отрезок , ограниченный точками: (3,–2,1), (–2,5,2).

Решение:

1). Так как для решения задачи требуется только сравнить знаки отклонений точек от плоскости, то нормализации уравнения плоскости не требуется.

2). Вычислим: =33–4(–2)–21+5>0; =3(–2)–45–22+5<0. Это значит, что отрезок пересекает плоскость π.

Ответ: доказано.

Пример 4–16: На оси найти точку , равноудалённую от точки и от плоскости : .

Решение:

1). Вычислим расстояние: =.

2). Нормализуем уравнение заданной плоскости : .

3). Вычисляем отклонение точки от плоскости : =(30–20+6c–9) =(6c–9).

4). Решая уравнение: =, получаем точки (0,0, –2) и .

Ответ: точки (0,0, –2) и.

Пример 4–17: Составить уравнения плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями : и : .

Решение:

1). Задача может быть решена несколькими способами. Мы рассмотрим простейший из способов, используя минимальный запас знаний о плоскостях.

3). Так как в задании 2). Пусть искомая плоскость есть геометрическое место точек M(x,y,z). Так как ==, то вычисление отклонений точек M от плоскостей и будем проводить, используя в качестве единицы длины длину векторов ,. В таком случае отклонения точек M от плоскостей и будем вычислять как: =(x–3y+2z–5), =(3x–2y–z+3).

предложено найти биссекторные плоскости двугранных углов, то необходимо воспользоваться свойством: каждая точка M искомой плоскости равноудалена от плоскостей двугранного угла. В таком случае, для одного двугранного угла должно выполняться равенство: =, а для другого: =–. Для условия: = получаем уравнение плоскости : , для условия: =– получаем уравнение плоскости плоскость : .

Ответ: плоскости :,:.

Пример 4–18: В каждом из случаев определить, лежат ли точки (2,–1,3) и (1,2,–3) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух плоскостей а) : и : , б) : и : .

Решение:

0). Учитывая, что в рассматриваемой задаче не требуется измерение отклонений при помощи единичного вектора, а достаточно знать только знаки отклонений точек и от плоскостей и , будем использовать непосредственно общие уравнения заданных плоскостей. Подставляя координаты точек и в уравнения плоскостей и , получим величины: , затем , . Сопоставление знаков этих величин позволит определять взаимное расположение точек , относительно плоскостей и .

1). Вычислим для вариантаа): для точки : =32–(–1)+23–3>0 и =2–2(–1)–3+4>0  это значит, что точка располагается над плоскостью и над плоскостью ; для точки : =31–2+2(–3)–3<0 и =1–22–(–3)+4>0. Это значит, что точка располагается под плоскостью и над плоскостью . Следует: точки , расположены в смежных углах над плоскостью . На рисунке показано положение точек , относительно плоскостей и , соответствующее полученному решению.

Замечание: исключение операции нормализации общих уравнений плоскостейисущественно снижает трудоёмкость решения примера.

2). Вычислим для вариантаб): для точки : =22–(–1)+53–1>0 и =32–2(–1)+63–1>0  это значит, что точка располагается над плоскостью и над плоскостью ; для точки : =21–2+5(–3)–1<0 и =31–22+6(–3)–1<0. Это значит, что точка располагается под плоскостью и под плоскостью . Следует: точки , расположены в вертикальных углах.

Ответ: в случае а) точки,расположены в смежных углах (над плоскостью); в случаеб) точки,расположены в вертикальных углах.

Пример 4–19: Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями : , : .

Решение:

1). Учтём, что для выделения острого двугранного угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями и , можно воспользоваться векторами нормалей и этих плоскостей: если >0, то выделен тупой угол, если <0, то выделен острый угол.

2). В нашем случае:=(2,–3,–4)(4,–3,–2)>0. Это значит, что при помощи скалярного произведения векторов нормалей плоскостей выделен тупой угол.

3). Пусть искомая плоскость есть геометрическое место точек M(x,y,z). Так как ==, то вычисление отклонений точек M от плоскостей и будем проводить, используя в качестве единицы длины длину векторов ,. В таком случае отклонения точек M от плоскостей и будем вычислять как: =(x–3y+2z–5), =(3x–2y–z+3).

4). Искомая плоскость определяется условием: =–. Учитывая полученные выражения, запишем равенство:

()=–(), откуда .

Ответ: .

☻