§ 2. Уравнение плоскости в отрезках.

После того как были получены уравнения плоскости, определяемой принадлежащими ей тремя произвольными точками, возникает интерес к частным случаям расположения этих точек. Особый интерес вызывает случай, когда в качестве заданных точек ,, выступают точки, расположенные на осях координат ,, системы : ожидаем существенное упрощение в используемых аналитических выражениях и снижение вычислительных трудностей!

Пусть плоскость определяют три точки: =,=,=.

Это значит, что плоскость пересекает все три оси системы координат , то есть не параллельна ни одной из осей координат ,,. Построим векторы:

==, ==, == . (1)

Вычислим вектор нормали плоскости: ====. Воспользуемся уравнение плоскости, заданной нормалью и точкой =:

=0 → =0. (2)

Разделим последнее равенство на число . Получаем легко запоминаемое уравнение плоскости: : , (3)

числа определяют отрезки (длина со знаком!), отсекаемые плоскостью на осях координат : поэтому и называют (3) – уравнение в отрезках.

Теперь рассмотрим частные случаи уравнения (3), когда плоскость параллельна одной или двум осям системы координат . В таблице представлены все возможные случаи параллельности с осями ,,.

→.	→.	→.
→.	→.	→.

Замечание: получение уравнений плоскости для частных случаев, определяемых параллельностью плоскости осям координат ,,, не представляет труда, если считать, что параллельности соответствует бесконечно удалённая точка пересечения!

Продолжим применение формул, определяющих плоскость в пространстве, в примерах и задачах аналитической геометрии.

☺☺

Пример 4–08: Вычислить площадь треугольника, отсекаемого плоскостью :=0 от координатного угла .

Решение:

Замечание: в этом примере применим не эскиз, отражающий исходные данные, а чертёж, который максимально соответствует используемой геометрической фигуре и её расположению в пространстве !

1). Воспользуемся уравнением плоскости для нахождения отсекаемых на осях координатного угла отрезков. Принимая , вычисляем: =–24. Для значений имеем =20.

2). Имея и , вычислим площадь треугольника: =| =240.

Ответ: =240.

Пример 4–09: Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью :=0 и координатными плоскостями.

Решение:

Замечание: положение плоскости на рисунке соответствует заданному в примере уравнению; для нахождения объёма пирамиды мы не станем пользоваться смешанным произведением векторов =,=,=, так как достаточно воспользоваться формулой для вычисления объёма пирамиды, вычислив параметры: .

1). Воспользуемся уравнением плоскости для нахождения отсекаемых на осях координатного угла отрезков. Принимая , вычисляем: =6. Для значений имеем =–4, для значений имеем =2.

2). Вычисляем объём пирамиды: ===8.

Ответ: =8.

Пример 4–10: Плоскость проходит через точку (6,–10_,1) и отсекает на оси =–3, на оси =2. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.

Решение:

Замечание: исходные условия задачи вполне позволяют построить общее уравнение плоскости , а затем превратить его в уравнение в отрезках.

1). Воспользуемся уравнением в отрезках при условии, что известны параметры и . Это значит, что нам известно уравнение :

.

2). Учитывая, что точка принадлежит плоскости , вычисляем: =–4 и записываем окончательное выражение : .

Ответ: .

Пример 4–11: Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси отрезок =–5 и перпендикулярной к вектору =(–2,1,3).

Решение:

Замечание: исходные условия задачи вполне позволяют построить общее уравнение плоскости ; представляет интерес решить задачу несколькими способами.

Способ первый:

1). Воспользуемся уравнением плоскости: =0, где используется вектор нормали = и точка =, принадлежащая этой плоскости.

2). Заменяя (для удобства!) вектор на =(2,–1,–3) и учитывая заданную точку =(0,0,–5), получаем: .

Способ второй:

1). Запишем уравнение плоскости в виде уравнения в отрезках: , где учтено значение =–5 , и составим вектор нормали плоскости для этой записи: =.

2). Приравнивая векторы , имеем: =(–2,1,3), откуда: =, =–15. Получаем: ––=1, или .

Ответ: .

Пример 4–12: Составить уравнение плоскости, параллельной вектору =(2,1,–1) и отсекающей на координатных осях , отрезки =3, =–2.

Решение:

Способ первый:

1). Обозначим: (0,–2,0), (3,0,0) и вычислим вектор ==(3,2,0). Так как векторы и не параллельны, построим вектор нормали: ===(2, –3,1).

2). Воспользуемся уравнением плоскости: =0, где используется вектор нормали = и точка =(0,–2,0), принадлежащая этой плоскости. После несложных вычислений получаем:

Способ второй:

1). Запишем уравнение плоскости в виде уравнения в отрезках: , где учтены значения =3, =–2. , и составим вектор нормали плоскости для этой записи: =.

2). Учитывая, что векторы и ортогональны, имеем: ·==0, откуда: =–6. Получаем: , или .

Ответ: , или.

Замечание: решение одной и той же задачи несколькими способами представляет большой интерес, так как вырабатывает навыки импровизации в применении теоретических знаний и развивает динамику (быстроту) мышления.

☻