Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛА и АГ пособие / АГ-2011-Глава-4.doc

Скачиваний:

146

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

4.96 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

154

АГ: Глава 4

Глава 4. Различные уравнения плоскости и прямой в пространстве в прямоугольной системе координат. Некоторые задачи в пространстве.

Введение понятий плоскости и прямой в пространстве позволяет охватить алгебраическими моделями все используемые в геометрии геометрические фигуры, что ещё более расширяет возможности аналитических приложенийгеометрии при решении инженерных задач.

§ 1. Общее уравнение плоскости.

Известны три способа аксиоматического определения (однозначного!) плоскости:

 две пересекающиеся прямые определяют плоскость в пространстве;

 прямая и точка, не лежащая на этой прямой, определяют плоскость в пространстве;

 три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость в пространстве.

А. Для получения общего уравнения плоскости мы воспользуемся теоремой, согласно которой, плоскость можно определить, задавая произвольную точку , принадлежащую этой плоскости, и направление перпендикуляра, нормали, к этой плоскости – вектор =:

Пусть точка принадлежит плоскости . Тогда вектор также принадлежит плоскости (в рассматриваемом случае вектор приложен к точке ). Так как вектор =, то векторы и взаимно перпендикулярны. Используя свойство скалярного произведения для векторов и , можем записать:

===0, (1)

уравнение (1) приводится к виду: =0, сохраняя свойство принадлежности: .

Имея выражение (1), можем предположить, что выражение, содержащее переменные в первой степени (то есть линейное выражение):

=0, (2)

является уравнением некоторой плоскости пространства. Действительно, пусть некоторая точка принадлежит геометрической фигуре, определяемой выражением (2). Это значит, что имеем тождество: . (3)

Вычитая из равенства (2) равенство (3), получаем выражение (1), которое определяет плоскость, определяемую точкой и вектором нормали =. Уравнение (2) за его свойство представлять любую плоскость пространства называют общим уравнением плоскости.

Пусть имеем две плоскости пространства, определяемые векторами нормалей: = и =. Это значит, что плоскости:

: и :

параллельным переносом могут перемещаться в пространстве, не меняя своего образа, представляемого общим уравнением. Представляет интерес на основании общих уравнений плоскостей исследовать случаи взаимного расположения плоскостей и : параллельность, совпадение и перпендикулярность. Рассмотрим эти случаи:

1). , если векторы , причем: . (4)

2). , если векторы , причем: . (5)

3). , если векторы , причем: . (6)

Если случаи (4)(6) не наблюдаются, то плоскости и пересекаются под некоторым (острым!) углом. Общие точки пересекающихся плоскостей определяются системой:

(7)

Из аксиом геометрии следует: плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Далее будет доказано, что система уравнений (7) определяет прямую линию в пространстве.

В. Определим плоскость, используя аксиому: три точки , , , не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость пространства . Выделим в плоскости произвольную точку и построим векторы: , , . По условию эти векторы компланарны.

Условием компланарности векторов , , может служить равенство нулю смешанного произведения этих векторов:

. (8)

Так как в определитель (8) содержит переменные , то его можно рассматривать как некоторое уравнение для переменных . Воспользуемся разложением определителя по первой строке:

. (9)

Обозначим входящие в выражение (9) определители 2-го порядка величинами:

, , . (10)

Нетрудно заметить, что в таком виде уравнение (9) однозначно определяет плоскость, проходящую через точку и имеющую вектор нормали =:

=0. (11)

Из уравнения (11) легко получим общее уравнение плоскости: , где коэффициенты определены в соответствии с (10), а коэффициент – произволен.

☺☺

Пример 4–01: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки , параллельно вектору =.

Решение:

1). Прежде всего, вычислим вектор =–==. Так как векторы и не коллинеарные, то вектор = не нулевой и может быть принят в качестве нормали искомой плоскости . Из определения векторного произведения: , а это и есть заданное свойство искомой плоскости. Обозначим: =. Тогда можем записать общее уравнение искомой плоскости:

=0. (1.1)

2). Для нахождения вектора = запишем определитель третьего порядка:

=x ===∙ –∙j +∙k =. (1.2)

3). Для удобства примем в качестве вектора нормали плоскости не вектор =, а коллинеарный ему вектор: =. Тогда (1.1) примет вид:

==0. (1.3)

Ответ: :=0.

Пример 4–02: Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору =, может быть представлено в виде:

Замечание: представляет интерес решить задачу двумя способами: чисто аналитически (формально) и с максимальным привлечением возможностей геометрии.

Решение:

Замечание: сравнение текста рассматриваемого примера с предыдущим примером показывает их полное совпадение: только и того, что там даны конкретные точки и вектор, а теперь предложено построить расчётные формулы для произвольных исходных данных.

Общее: для получения аналитического и геометрического решений задачи примем общие обозначения: точкиирасположены в плоскости, причём=,=; пусть векторыипомещены в параллельные плоскостии; это значит, что для любой точки, принадлежащей плоскостивекторы,,–компланарны.

Вариант-1 (формально алгебраический):

Воспользуемся условием компланарности векторов , , : три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю:

==0. (1.1)

где =, =–, =. Равенство (1.1) есть общее уравнение плоскости, проходящей через точки,и параллельной вектору=.

Вариант-2 (конкретно геометрический):

Составим векторные произведения: и; если векторыине параллельны, то при доказательстве будем использовать вектор, иначе.

1). Пусть вектор ; так как вектор , то и тогда: , то есть смешанное произведение векторов , , равно нулю, а это и есть условие (1.1).

2). Пусть вектор – это значит: ||, то есть эти векторы коллинеарны. В этом случае можно использовать вектор 0, а затем, учитывая , записать . Так как ||, то в уравнении (1.1) коэффициенты A,B,C все сразу равны нулю и оно тождественно выполняется для любой точки .

Алгебраически полученное тождество вполне допустимо, а вот геометрически ситуация характеризуется весьма примечательно: мы имеем случай, когда точки , определяют прямую, параллельную вектору . В этом случае через прямую , можно провести бесконечно много прямых, параллельных вектору: пучок плоскостей!

Для этого случая построение пучка плоскостей будем выполнять так:

а) задаем плоскость тремя точкамииточками, причем точкии– произвольные, не принадлежащие прямой,; эти условия определяют две плоскости:и:, линией пересечения которых является прямая,;

б) составляем уравнение пучка: : +=0, или в форме:=0. Конкретные значения параметров(или их отношение!) определяют по дополнительной информации (например, задают точку, которая принадлежит выделяемой из пучка плоскости, или вектор нормали плоскости).

Вывод: использование только формально-аналитических решений не всегда обнаруживает многообразие сопутствующих геометрических образов!

Ответ: Доказано!

Пример 4–03: Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (3,–1,2), (4,–1,–1), (2,0,2).

Решение:

1). Можно было бы использовать общим случаем: (три точки) = (плоскость). Мы воспользуемся формулой (1.1), полученной в Примере 4–02, приняв: ==(–2,1,3).

2). Запишем: ==0A(x–3)+B(y+1)+C(z–2), где =3, =3, =1, или : .

Ответ: .

Пример 4–04: Составить уравнение плоскости, которая проходит: а) через точку (2,–3,3) параллельно плоскости OXY; б) через точку (1,–2,4) параллельно плоскости OXZ; с) через точку (–5,2,–1) параллельно плоскости OYZ.

Решение:

Схема решение задачи:

A¹. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точкув направлении, определяемом вектором нормали=→:. (4.1)

A². Для каждого варианта, определяемого условиями задачи, записываем точкуи вектор нормали→ записываем уравнение плоскости.

1). В случае вариантаа) примем: ==(2,–3,3). Из рисунка легко видеть, что в качестве вектора можно принять единичный вектор оси вектор =(0,0,1). Применим формулу (4.1):

: ,

или :.

2). В случае вариантаа) примем: ==(1,–2,4). Из рисунка легко видеть, что в качестве вектора можно принять единичный вектор оси вектор =(0,1,0). Применим формулу (4.1):

или :.

3). В случае вариантаа) примем: ==(–5,2,–1). Из рисунка легко видеть, что в качестве вектора можно принять единичный вектор оси вектор =(1,0,0). Применим формулу (4.1):

: ,

или :.

Ответ: плоскости: а) :, б) :, с) :.

Пример 4–05: Составить уравнение плоскости, которая проходит: а) через точку (4,–1,2) и ось ; б) через точку (1,4,–3) и ось ; с) через точку (3,–4,7) и ось .

Решение:

Замечание: представляет интерес решить варианта)несколькими способами, сравнить применённые способы, наименее трудоёмкий и наглядный способ применить для решения остальных вариантов.

Вариант а) – способ первый:

1). В рассматриваемом случае координаты точки: (4,–1,2). Геометрически плоскость, обозначим её , определена прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой. Такая плоскость единственна.

2). Обозначим на оси точки: (0,0,0), (1,0,0), и произвольную точку плоскости : . Определим векторы: ==(4,–1,2), = =(1,0,0) и = =. Так как векторы , , принадлежат одной плоскости , то смешанное произведение этих векторов равно нулю:

===1··=. (5.1)

3). Уравнение (5.1) есть искомое уравнение плоскости : .

Вариант а) – способ второй:

1). Воспользуемся обозначениями, принятыми при рассмотрении первого способа, и определим вектор нормали плоскости : ======.

2). Составим уравнение плоскости , имеющей вектор нормали = и проходящей через точку (4,–1,2): .

Вариант а) – способ третий:

1). В этом случае определим плоскость линией пересечения этой плоскости с плоскостью координат : это прямая , проходящая через начало координат и принадлежащая плоскости . В общем виде уравнение прямой : .

2). Учтём, что проекция точки на плоскость : =(0,–1,2). Так как эта точка принадлежит , то и тогда : .

Вывод: наименее трудоёмким является третий способ, его станем применять к остальным вариантам задания.

Вариант б) – способ третий:

2). Учтём, что проекция точки (1,4,–3) на плоскость : =(1,0,–3). Так как эта точка принадлежит , то и тогда : .

Вариант в) – способ третий:

2). Учтём, что проекция точки (3,–4,7) на плоскость : =(3,–4,0). Так как эта точка принадлежит , то и тогда : .

Ответ: а) ; б) ; с) .

Пример 4–06: Составить уравнение плоскости, которая проходит: а) через точки (7,2,–3), (5,6,–4) параллельно оси ; б) через точки (2,–1,1), (3,1,2) параллельно оси ; с) через точки (3,–2,5), (2,3,1) параллельно оси .

Решение:

Схема решение задачи:

A¹. Так как в задании три варианта, то, как в предыдущих, можно было бы выполнить для каждого из них три рисунка, отражающих расположение всех элементов относительно системы. В аналитической геометрии это не обязательно: можно обойтись одним эскизом. В нашем случае в первом вариантеа)принимаем:=(1,0,0), во второмб):=(0,1,0), в третьемв):=(0,0,1).