§ 2. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.

Для получения канонических уравнений поверхностей 2-го порядка потребуется дополнительное преобразование уравнений поверхностей вращения – сжатие (растяжение) геометрических фигур.

Сжатие будем понимать как преобразование точек пространства по отношению к некоторой неподвижной плоскости :

▫ пусть – прямая, перпендикулярная к плоскости ;

▫ пусть в пространстве выделена про­из­вольная точка ;

▫ применим к пространству, то есть ко всем его точкам, преобразование: такое, что =·: если число <1, то точка будет ближе к плоскости , чем точка ; мы это будем понимать так: точка приблизилась к плоскости ; если число >1, то точка удалилась от плоскости .

Применим сжатие пространства к плоскости симметрии каждой из рассмотренных ранее поверхностей вращения.

Эллипсоид:

1). Имеем уравнение эллипсоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – трехосный эллипсоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид однополостный:

1). Имеем уравнение однополостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – однополостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид двуполостный:

1). Имеем уравнение двуполостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – двуполостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Параболоид эллиптический:

1). Имеем уравнение параболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – параболоид эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Конус эллиптический:

1). Имеем уравнение конуса вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – конус эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Ниже приводятся примеры, в которых постановка задачи и её выполнение отличаются от рассмотренных в общетеоретических исследованиях.

☺☺

Пример 6–10: Доказать, что двуполостный гиперболоид: может быть получен вращением гиперболы вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Пусть имеем гиперболу : Совершим её вращение относительно оси (действительная ось гиперболы): В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: . Получено: уравнение поверхности, которое называют двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения .

2). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → двуполостный гиперболоид вращения преобразуется в заданный двуполостный гиперболоид: .

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 6–11: Доказать, что эллиптический параболоид: может быть получен в результате вращения параболы , =0 вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Параболу: расположенную в плоскости , вращаем относительно оси : В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: – это параболоид вращения. Перепишем это выражение в виде: .

2). Уравнение путём тождественных преобразований представим в виде: .

3). Применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → параболоид вращения преобразуется в заданный эллиптический параболоид.

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 6–12: Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0,0,), направляющая которого дана уравнениями , =0.

Решение:

1). Образующая конуса есть вращающаяся прямая, имеющая одну точку (0,0,) неподвижной, а вторую точку принадлежащей эллипсу, расположенному в плоскости . Выделим одну из образующих точкой (,0,0). Тогда уравнение вращающейся вокруг оси линии можем записать в виде : =.

2). Применим преобразование координат: ,,. Этим преобразованием задача преобразована к виду, уже рассмотренному выше: вращается линия: построить поверхность вращения.

3). Легко получаем уравнение: – это уравнение конуса вращения с осью вращения и вершиной в точке (0,0,).

4). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : В результате сжатия пространства получили эллиптический конус: . Для проверки правильности полученного решения полезно убедиться, что значении =0 имеем исходную образующую конуса: .

Ответ: уравнение конуса: .

☻