2. Размерность в геометрии. Параметрическое и топологическое определения размерности а. Пуанкаре. Кантор и Пеано - удар по математической интуиции.

"Разве далям бесконечным измеренье есть"

Низами Гянджеви.

Анри Пуанкаре, которого можно по праву считать крупнейшим математиком начала века, его работы затмевают даже достижения Давида Гильберта, посвятил несколько крупных философско-математических работ проблеме трехмерности пространства [4]. Эти же размышления, можно предположить, оказали на него огромное влияние и при установлении основных принципов топологии, новой науки, позволяющей изучать свойства геометрических объектов, не прибегая к параметрическому описанию. В обзоре собственных работ в 1901 г. Пуанкаре пишет: "Я занимался... анализом психологических исходных начал понятия пространства". Психологический аспект происхождения понятий не просто вызывал его интерес, но был существенным элементом его методологической установки и распространялся не только на геометрические понятия. Важнейший результат такого анализа - вывод об определяющем влиянии внешнего мира на геометрические представления человека. Главу "Пространство и геометрия" в книге "Наука и гипотеза" 1902 Пуанкаре начинает, как он пишет "с маленького парадокса", состоящего в том, что другие существа "могли бы получить от соответственно подобранного внешнего мира такие впечатления, что им бы пришлось построить Геометрию иную, чем евклидова и разместить явления этого внешнего мира... даже в пространстве четырех измерений" [4].

У Пуанкаре можно найти два существенно различных подхода к понятию размерности: параметрический и топологический. В первой, из его книг по общим вопросам науки "Наука и гипотеза", вышедшей в 1902 году, присутствуют сразу оба подхода.

Пуанкаре пишет, что полное зрительное пространство "имеет как раз три измерения: т.е. элементы наших зрительных ощущений... будут вполне определены, когда известны три из них выражаясь математическим языком они будут функциями трех независимых переменных". Подобный подход, основанный на параметрическом "определении" размерности, по-существу, до сих пор подразумевается в физике. Кавычки поставлены потому, что параметрическое определение размерности, по крайней мере в форме "Размерность пространства - это минимальное число параметров, которые необходимы, чтобы отличить точки пространства друг от друга", математически некорректно.

Это стало ясно после построенного Георгом Кантором 1845-1918 знаменитого примера взаимно однозначного соответствия между множеством точек отрезка и множеством точек квадрата объектов разных размерностей. "А счастье было так возможно.." Действительно, в плоской фигуре, например, в квадрате точек, казалось бы, в бесконечное число раз больше, чем в отрезке. Кантор в течение трех лет пытался доказать этот интуитивно очевидный факт. Такое различие двух бесконечностей, если бы оно существовало, могло бы стать основой для определения размерности. Однако, в результате своих попыток Кантор достиг прямо противоположного результата - он доказал, что эти два множества равномощны: ему удалось установить взаимно однозначное соответствие между ними [5].

Сообщая в 1877 г. о своем открытии Дедекинду, Кантор в письме, написанном по-немецки, не удержался от эмоций и выразил их словами, написанными по-французски: "Я вижу это, но я не верю этому". Однако, параметрическое определение размерности имело настолько ясный смысл, вполне согласующийся с обычным в физике понятием числа степеней свободы, что даже математик Пуанкаре в 1902 гг. не мог отказаться от этого интуитивно ясного определения. А физики не отказались до сих пор. Физику параметрические представления о размерности могли удовлетворить, поскольку физика все-таки использовала довольно простые геометрические фигуры, но в геометрии как раз в конце XIX в. обнаружилась недостаточность простых параметрических представлений.

Казалось ясным, например, что всякая линия должна быть одномерна. Но что такое "всякая линия"? Долгое время математиков удовлетворяло такое определение: линия - это всякая фигура, которую можно получить непрерывным преобразованием отрезка прямой; точка, пробегающая отрезок, параметризовала бы линию непрерывным образом. Это определение, по-существу, лишь уточняет древнее определение линии, как следа движущейся точки. Однако, в 1890 г. итальянский математик Дж. Пеано построил пример линии, заполняющей целиком квадрат на плоскости, т.е. построил непрерывное отображение отрезка - одномерной фигуры на квадрат - двумерную фигуру.

Этот пример поразил математиков не меньше канторовского. Отметим, что сегодня математике известны объекты, и в том числе "линии", имеющие вообще дробную размерность, если последнюю определить корректно.

Возникшую ситуацию, по-видимому, глубже всех осознавал Пуанкаре. Как результат, в работе 1912 года дается следующее, очень важное для дальнейшего определение: "Непрерывность имеет N измерений, когда ее можно разбить на несколько частей, произведя в ней одно или несколько сечений, которые сами являются непрерывностями N1 измерений. Непрерывность N измерений, таким образом, определяется через непрерывность N1 измерений; это рекуррентное определение." Для Пуанкаре начальным пунктом была одномерность - простейший вид непрерывности. Однако, как выяснилось позже, удобнее в качестве начального пункта индукции взять нуль-мерность - точку, а, чтобы определение сохранило свой вид, пустому множеству нужно формально приписать размерность N1.

Далее Пуанкаре пишет, что веру в это определение ему дает прежде всего, восходящее еще к "Началам" Евклида, представление о том, что поверхность - это граница тела, линия - граница поверхности и точка - граница линии, отметим здесь, что свойство материальных тел "существовать в пространстве" в философии как раз связывается с понятием "границы" тела, "ограниченности” объемов в пространстве. Затем, он подчеркивает важность в топологии понятия сечения, "на сечении все основано" и, в связи с этим, напоминает, что по Риману, второму "основателю" топологии, отличие сферы от тора выражается с помощью сечений: на торе, в отличие от сферы, далеко не любая замкнутая кривая разделяет его на две части. Это указание на восходящие к античным натурфилософам источники "веры" в новое определение говорит не столько о происхождение нового определения, сколько о философском значении нового понятия и, что я особенно подчеркну в связи со следующими параграфами метода, использованного при его введении. На мой взгляд, метод, приведший Пуанкаре к успеху и основанный на рекуррентном подходе к анализу пространства, в частности на введении понятия "сечения", теперь этот объект в математике называется "сечение Паункаре ", имеет очень глубокое значение как философский аналитический принцип, что показывает его прямое использование, в том числе с прямыми геометрическими аналогиями и иллюстрациями в современных философских работах, например, обсуждаемых в [6].

3. Размерность в физике. Попытки доказательства 3+1 мерности физического мира от Канта и Пуанкаре к Эренфесту и Эйнштейну. Дискретность пространства и "элементарная длина".

"Понятия, которые оказываются полезными... легко завоевывают у нас такой авторитет, что мы забываем об их земном происхождении и воспринимаем их как нечто неизменно данное. В таком случае их называют "логически необходимыми", "априорно данными" и т.д... Анализ давно используемых нами понятий и выявление обстоятельств, от которых зависит их обоснованность, пригодность и того, как они возникают из данных опыта, не является праздной забавой. Такой анализ позволяет подорвать излишне большой авторитет этих понятий..."

Альберт Эйнштейн

"Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения". Статья Пауля Эренфеста 1880-1933 с таким названием была напечатана в 1917 г. в "Трудах Амстердамской академии" [6]. Только после этой статьи появились действительные основания считать размерность пространства физическим понятием, а трехмерность - физическим фактом. Эренфест рассматривает "физику" в N-мерном евклидовом пространстве Е . При этом закон взаимодействия с точечным центром он выводит аналогично трехмерному случаю из дифференциального уравнения Пуассона в У для потенциала, определяющего это взаимодействие. Уравнение Пуассона эквивалентно закону Гаусса, утверждающему, что поток напряженности поля через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному заряду или массе в случае гравитации, находящемуся внутри этой поверхности. Действительно, линейный оператор в законе Гаусса записан в инвариантном виде, явно не использующем размерность пространства. Это дает основание предполагать, что отсюда можно получить корректные решения, в частности, закон взаимодействия точечных силовых центров.

Чтобы иметь возможность ставить замкнутые физические задачи, Эренфест подчиняет движение ньютоновским законам динамики, точнее их естественному обобщению на случай Е, и рассматривает следующие следствия этих законов: замкнутость и устойчивость орбит в поле гравитирующего центра, боровский спектр атома водорода, а также некоторые свойства волнового процесса. Не останавливаясь подробно на описании физических результатов, скажем лишь, что Эренфест пришел к выводу о принципиальном отличии физики в 3+1 мерном пространстве-времени от "физик" пространств с большей и меньшей размерностью. Таким образом, можно считать, что в макроскопических в данном случае, и в квазиклассических квантовых, и в достаточно больших космических масштабах размерность пространства равна трем.

Заметим, что приблизительно в то же самое время, что и Эренфест, Г. Вейль в связи со своим вариантом единой теории поля, в которой вектор-потенциал электромагнитного поля получил геометрическую интерпретацию, указал на выделенность четырехмерности пространства-времени, связанную с тем, что только в четырехмерном мире уравнения для электромагнитного поля обладают свойством т.н. конформной инвариантности, которая в теории Вейля заменяет обычную ковариантность общей теории относительности, т.е. независимость вида основных уравнений от преобразования координат.

Огромное внимание уделял проблеме интерпретации понятия "пространства" в физике Альберт Эйнштейн. И в первой, и в последней работах Эйнштейна по пятимерной теории поля ставится проблема: "Объяснить, почему континуум пространствено-временной В.К. очевидным образом ограничен четырьмя измерениями" [7]. Однако, гораздо более важной физико-философской проблемой, которой активно занимался Эйнштейн, стала проблема противоречивости описания мира, который "устроен" явно "квантовым образом", на языке понятия N мерного, неважно даже, чему равно в тех или иных условиях N континуума, то есть на языке существенно непрерывных многообразий.

В этом отношении Эйнштейн наиболее ярко выразил свою позицию следующим образом: "Что является априори несомненным или необходимым соответственно в геометрии доктрина пространства или в ее основаниях. Прежде мы думали все теперь мы думаем ничто. Уже понятие "отрезка" является логически произвольным, вовсе не обязаны существовать вещи соответствующие ему даже приближенно. " Аналогичное замечание можно сделать о понятии прямой плоскости, о трехмерности пространства и о справедливости теоремы Пифагора. Даже доктрина континуума никоим образом не дана нам в природе человеческого мышления так, что с точки зрения теории познания чисто топологическим соотношениям нельзя придавать большего значения чем другим соотношениям."[8]

Известны и другие высказывания Эйнштейна выражающие сомнения в абсолютной применимости обычных пространственных представлений причем эти сомнения уже явно связаны с особенностями квантовых явлений. "Предложенная здесь физическая интерпретация геометрии не может быть непосредственно применена к областям пространства субмолекулярных размеров... Только успех может служить оправданием такой попытки приписать физическую реальность основным понятиям римановой геометрии вне области их физического применения. Безусловно имеет огромное значение мысль Эйнштейна о физических пределах применения геометрических понятий В.К. Однако может оказаться, что подобная экстраполяция имеет не больше оснований чем распространение понятия температуры на части тела молекулярных размеров. "[9]

И в другом месте "...введение пространственно временного континуума может считаться противоестественным если иметь в виду молекулярную структуру, повидимому имеется в виду именно квантовая природа атомов и молекул В.К. всего происходящего в микромире. Утверждают что успех метода Гейзенберга может быть приведен к чисто алгебраическому методу описания природы, для описания квантовой динамики Гейзенберг развил методы чисто дискретной математики матриц В.К. т.е. исключению из физики непрерывных функций. Но тогда нужно будет в принципе отказаться от пространственновременного континуума..."[10].

Эта перспектива не реализована до сих пор, насколько это известно автору реферата, поскольку пока не предложен какой-либо подход позволяющий, удовлетворительно перевести все описания физических явлений на язык дискретной математики матричной либо иной. Сам Эйнштейн писал: "Я придерживаюсь представлений о континууме не потому, что исхожу из некоторого предрассудка, а потому, что не могу придумать ничего такого что могло бы органически заменить эти представления. Каким образом следует сохранить наиболее существенныечерты четырехмерности... если отказаться от представлений о непрерывности"[7]

Для четырехмерности в физике имеются, как было показано достаточно веские основания. Можно ли построить такую модель пространства-времени в котором четырехмерность соответствующим образом выраженная не предполагала бы заранее заданной локальную 4-мерную непрерывную структуру пространства-времени. Одно из наиболее важных оснований для такой постановки вопроса состоит в том, что отказ от классической непрерывной модели пространства-времени считается неизбежным для будущего синтеза релятивистской квантовой теории и эйнштейновской теории гравитации.

Следует отметить еще раз, что такое направление развития представлений о пространстве не эквивалентно отказу от абсолютного в некотором смысле характера числа измерений, как одного параметра характерного для всех физических явлений и включению понятия размерности пространства в совокупность физических понятий с определенной областью применимости и возможностью изменения. Обычно неявно предполагается, что моделью альтернативной локальноевклидовой 3+1 мерной модели пространства является полностью дискретная точечная нуль-мерная полностью квантованная модель пространства. Однако не исключено, что по мере проникновения в микромир размерность пространства будет "отступать" постепенно, повидимому целочисленными скачками, но быть может и по более сложному закону и что для некоторых физических ситуаций приемлемой окажется 2+1 мерная или 1+1 мерная модель пространства-времени. Такое изменение размерности пространства при переходе к микромасштабам могло бы стать формой реализации концепции фундаментальной длины и дискретного пространства. Кроме того, как следует из определения интервала в метрике пространства Минковского при скачках такого рода, мне кажется возникнут определенные трудности с идентификацией пространственных и временных компонент нового пространства-времени влекущие также непредсказуемые последствия для анализа понятия "времени" на таких масштабах.

4. Размерность в “экстремальной физике” космологии и единых теориях поля. Модель Клейна-Калуцы и ненаблюдаемые размерности. “Платоновские физики”. Изменения размерности мира в процессе его “рождения”.

“Нет ответила Маргарита более всего меня поражает где все это помещается. Она повела рукой подчеркивая этим необъятность зала. Коровьев сладко ухмыльнулся отчего тени шевельнулись в складках у его носа. Самое несложное из всего ответил он. Тем кто хорошо знаком с пятым измерением ничего не стоит раздвинуть помещение до желательных пределов. Скажу вам более уважаемая госпожа до черт знает каких пределов.”

М. Булгаков

В этом разделе хотелось бы упомянуть те ситуации в которых физики пытаются прибегнуть к изменению размерности физического пространства с целью адекватного описания фундаментальных мировых явлений. Первая из них связана с попытками создания единых теорий поля и, в частности, введения для этого 5+1 мерного пространства Калуца, а также попытками использования такого континуума для описания чисто геометрическими средствами квантовых эффектов связанных с соотношениями неопределенности и, вообще, со статистическим характером квантовых законов Клейна.

Неопределенность возникающую при четырехмерном описании пятимерного мира можно пояснить следующим образом.

Представим себе модернизированный вариант “платоновской пещеры”, кинозал где на освещенном экране перемещаются тени от шаров, движущихся в зале в лучах проектора. Допустим, что у сидящих в зале физиков есть возможность наблюдать все события, происходящие в трехмерном зале только по двумерным теням на экране. Таким образом, описывать происходящие события они могут только с помощью величин, характеризующих расположение и перемещение теней на экране. Предположим также, что шары в зале сталкиваются по законам упругого соударения. Тогда в результате своих “двумерных” исследований физики неизбежно столкнутся с тем, что одни и те же двумерные условия приводят к существенно различным результатам: в одних случаях двумерное столкновение шаров приводит к изменению их движения, а в других случаях шары беспрепятственно проходят друг сквозь друга. Неопределенность результата взаимодействия физики могли бы описать с помощью вероятности, которая с трехмерной точки зрения определяется конечно же отношением диаметра шара к глубине зала, величиной не наблюдаемой для физиков.

Несмотря на то, что после активных попыток создания такой теории “со скрытыми параметрами размазанными по ненаблюдаемой оси”, которым отдал дань и Эйнштейн от них отказались, и до последнего времени считали такого рода теории бесперспективными, отметим что Эйнштейн отказался от разработок пятимерных теорий не из-за неуспеха этих попыток, а скорее из-за методологической их слабости, почему скажем 5мерное, а не N-мерное, в последнее время интерес к этой деятельности снова пробуждается, но уже в связи с другими идеями и подходами.

Другой пример использования в физике модели реального геометрического пространства с размерностью на этот раз меньшей 3+1 мы находим в истории попыток объяснить некоторые парадоксы, возникающие при описании последствий начального периода развития Вселенной, в частности ее поразительной глобальной однородности на очень больших расстояниях. В этом случае достичь “удовлетворительного” объяснения удается предполагая, что размерность пространства Вселенной достигла значения “3+1” не сразу, а тоже пройдя стадии 1+1 и 2+1 мерности, напомним в связи с этим “симметричную” ситуацию с описанием процессов на квантовом уровне. В связи с этим предоставляется простор для полета мысли авторов научнопопулярных книг, теперь рождение Вселенной можно представлять уже не “тривиальным” Большим Взрывом из сверхплотного состояния, “расположенного” где-то в центре “скрученного до нулевого радиуса кривизны” риманова пространства, а процессом рождения из той самой 0мерной “точки”, с последующим набором скачками или постепенно размерности вплоть до 3+1 или больше. Или может быть нашу Вселенную еще ждет приобретение новых чисто “пространственных” измерений. Возможен ли вариант эволюции Вселенной связанный с приобретением новых “временных” измерений...

5. Повышение или понижение размерности как методологический принцип в математике и физике. Топологическая размерность и сечения Пуанкаре. Анализ отображений. Направленность времени и отображения. Дискретность пространства времени и отображения.

Э...Помни

Пространство которому кажется ничего

не нужно сильно нуждается во

взгляде со стороны в критерии пустоты.

И сослужить эту службу можешь только ты.Э

Иосиф Бродский

Отдав дань жанру научно-популярной литературы, к ней можно отнести не только конец предыдущего параграфа, но и все сказанное выше остановимся на следующем вопросе: Какую роль играет понятие размерности пространства, а особенно ее изменение,например, понижение или повышение на единицу в качестве инструмента познания мира наряду с другими строгими аналитическими подходами . Автору представляется, что эта роль необычайно важна не только потому, что размышление о пространствах иных размерностей позволяет избавиться от определеной косности , связанной с обыденными понятиями человека о трехмерном пространстве и увидеть неочевидность предпосылок некоторых теорий как физического так и математического рода, использующих слишком свободно размерность пространства. Думается что одним из основных преимуществ таких мысленных “смен размерности” является возможность использования рекуррентного представления о пространстве, с чем автору, занимающемуся так называемой качественной теорией динамических систем т.е. по сути дела анализом поведения траекторий на поверхностях разных размерностей постоянно приходится иметь дело.

Поясню свою мысль. Существует легенда, что несколько лет назад на экзамене по аналитической геометрии в МИЭТе на просьбу профессора к студенту объяснить что такое 10мерная сфера, имелось в виду, что студент запишет уравнение X*X +...X*X=R*R, студент помявшись сказал, что объяснить он не возьмется, а лучше нарисует. Быть может, пришедший через пару минут в себя шокированный профессор, выгнав студента с экзамена погубил человека, обладавшего уникальными и остро необходимыми в математике способностями представлять в уме объекты в существенно многомерных пространствах. Автор, к сожалению, не может представить себе даже четырехмерной сферы или куба, поэтому при размышлениях ему приходится пользоваться в частности удобными рекурентными свойствами простейших утверждений геометрии в евклидовом пространстве. Например “две прямые - 1мерный объект пересекаются в точке 0мерный объект”, “две плоскости- 2мерный объект пересекаются по прямой “мерный объект”, “два 3-х мерных пространства пересекаются по плоскости - 2мерный объект”, “два 4-х мерных гиперпространства пересекаются по 3хмерному пространству” ... Или другой пример: “через две несовпадающие точки можно провести единственную прямую”, ”через две несовпадающие прямые можно провести единственную плоскость”, ”через две несовпадающие плоскости можно провести единственное 3-х мерное пространство”, “через два несовпадающих 3-х мерных пространства можно провести единственное 4хмерное гиперпространство” ... и т.д. Построив некоторый набор утверждений такого рода можно таким образом, если не представить себе пространства высших размерностей, то хотя бы почувствовать сквозь пелену своей “3-х мерной слепоты” некоторые их черты.

Такого рода рекуррентный подход к описанию пространства выше уже несколько раз специально отмечался. Прежде всего плодотворность такого подхода показывает успех А.Пуанкаре в определении топологической размерности N-мерного многообразия через его разбиение многообразиями с размерностью на единицу меньшей. Второй пример - попытка описания статистических свойств квантовых объектов, поместив их в пространство высшей размерности и “списывая” вероятностный характер описания на недостаток информации, передающейся сечением или проекцией этого пространства “нашим” трехмерным классическим пространством.Не случайно здесь возникает аналогия с “платоновской пещерой”, это тоже в сущности предвосхищенный метод смещения изучаемого объекта, в данном случае мира в следующее “над”пространство и изучение следа, оставляемого им на сечении его многообразием на единицу меньшей размерности.

В связи с эти обратимся к такому понятию теории динамических систем как “сечения или отображения на сечении Пуанкаре” [11]. Оказывается очень удобно наблюдать за сложным движением траектории частицы т.е. за решением системы дифференциальных уравнений не непосредственно, скажем на 3-х мерной энергетической поверхности, сложным образом “упакованной” внутри полного 4-х мерного “фазового пространства”, системы с двумя степенями свободы, а изучать цепочки точек, в которых эта траектория “протыкает” секущую в этом примере 2мерную поверхность, выбранную подходящим образом, это и есть так называемое “отображение на сечении Пуанкаре” рис.

Такая последовательность точек несет всю необходимую для анализа в том числе и очень тонкую информацию о “своей” траектории. Но самое главное достоинство этого метода состоит в том, что он позволяет фактически видеть траекторию в пространстве такой размерности, в которой человек легко может научен мыслить и, что еще важнее в которой способна действовать его математическая интуиция, которая правда, как было показано ранее тоже может иногда и ошибаться... За последнее десятилетие в связи с открытием явления т.н. детерминированного хаоса в маломерных динамических системах х11ъ появились быть может уже тысячи статей в научных журналах где изображаются не сами сверхсложные хаотические траектории а их следы на сечениях Пуанкаре.

Хотелось бы отметить, что метод наращивания размерности в совокупности с методом сечений Пункаре приводит и к еще одному важному следствию, требующему, как мне кажется определенного философского осмысления: он позволяет перевести динамику непрерывную в пространстве высшей размерности в строго дискретную в “секущем пространстве”. Такой подход мог бы быть использован для возвращения к описанию квантовых явлений с позиций непрерывного пространства, но с измерением на единицу большим. Действительно, легко представить себе траекторию которая изображает в каком-либо виде динамику системы проходящую в 4-х мерном пространстве почти вдоль “секущего 3-х мерного пространства”. Тогда можно предположить, что при определенных условиях эту траекторию можно считать лежащей на сечении тоесть непрерывной, с точки зрения “секущего пространства” это т.н. классический предел: при других условиях мы будем видеть лишь последовательность точек-дискретный след непрерывной траектории, оставляемый ей в 3-х мерном пространстве. Таков возможный механизм квантования, если привлечь соображения повышения размерности. Так может выглядеть путь к осмыслению понятия квантования пространства.

Этот метод, отвлекаясь от спекулятивной игры с квантованием несет также дополнительную в определенном смысле “философскую” нагрузку поскольку позволяет органично производить качественный, употребим даже слово диалектический, переход от непрерывного к дискретному и обратно. Здесь непрерывное и дискретное выступают как два разных образа одного и того же явления на которое мы смотрим с позиций пространств с разной размерностью.

6. Повышение или понижение размерности как методологический принцип в философии. Конечность и безграничность Вселенной. Принцип дополнительности. Сечения и проекции. В.Франкл и экзистенциальный анализ. Взгляд со стороны на мир меньшей размерности.

“Математика должна помогать философу глублятьсяв понятия числа пространства и времени.”

Анри Пуанкаре

Необходимо отметить, что метод понижения или повышения размерности используется достаточно часто и эффективно когда речь идет об описании понятий, либо трудно представимых в рамках обычного числа измерений пространства, либо представимых существено корректнее с точки зрения мира с высшим числом размерностей пространства. Как один из главных принципов т.н. “житейской” философии, всегда стараться посмотреть на событие человека ситуацию: с разных точек зрения, так и более общие, но на самом деле не более сложные философские принципы, например, переведенный Нильсом Бором из Кьеркегоровской философии экзистенциализма в квантовую физику “принцип дополнительности” все они на мой взгляд суть разные стадии философского развития и углубления принципа в основе которого лежит на мой взгляд более или менее явное понимание человеком ограниченности информации которую можно получить в рамках какогото фиксированного числа “измерений пространства”.

Отсюда стремление преодолеть путы изначально наложенные на человеческое сознание жестким ограничением числа представимых человеком измерений мира измерений Эв которых он может думатьЭж стремеление подняться хотя бы мысленно над трехмерностью мира доступных человеческому взгляду физических явлений. Зависть человека к парящей птице вечное стремление человека в небо в пространство тоже быть может связаны с ощущением человеком ЭпочтидвухмерностиЭ своего существования на поверхности земли с его стремлением вырвать у существующего миропорядка возможность естественно жить в еще более ЭвысокомерномЭ мире.

В философии часто и достаточно эффективно используется возможность смотреть глазами Эчеловека трехмерногоЭ на жизнь некоего воображаемого Эчеловека двумерногоЭ живущего Эв плоскостиЭ и ясно видеть как и в чем ограничивает его эта Эдвумерность существованияЭ. После этого Эрекуррентная процедураЭ позволяет посмотреть и на себя глазами которые пусть на короткое время обретают возможность ЭвидетьЭ трехмерный мир ЭглазамиЭ четырех и более мерного пространства.

Примером использования такого подхода является описание упоминавшегося в предисловии Эвозвращения астронавтаЭ в исходную точку после полета Эпо прямойЭ насколько он может установить по любым приборам вглубь Вселенной. Известно что как показывает общая теория относительности наличие во Вселенной ненулевой массы тяготения в принципе для реализации этого эффекта достаточно было бы существования во всей Вселенной единственной пылинки приводит к изменению метрики Вселенной появлению у пространства ненулевой положительной кривизны. Это явление удобно описать следующим образом. Воображаемому Эчетырехмерному наблюдателюЭ движение точки в трехмерном пространстве представляется аналогично тому как нам представляется движение точки по некоторой двумерной поверхности. При нулевой кривизне пространства такая поверхность являлась бы плоскостью евклидова метрика и точка двигаясь по ЭпрямойЭ имеется в виду т.н. ЭгеодезическаяЭ линия вдоль нее расстояние между двумя точками минимально ушла бы от исходной точки на бесконечность. Но как только кривизна риманова пространства становится положительна ЭповерхностьЭ из ЭплоскостиЭ превращается в ЭшарЭ в голову приходит далекая от философии аналогия с тем как загибают и склеивают друг с другом края пельменей. Радиус этого ЭшараЭ тем меньше чем больше гравитационная масса т.е. кривизна пространства. ЭПрямаяЭ на поверхности этого шара есть просто опоясывающая его окружность и движение в любом направлении от исходной точки неминуемо приводит к возврату. Наблюдая за движением точки на двумерной поверхности в случаях ее нулевой и ненулевой кривизны мы легко можем теперь перенести эту ситуацию на движение в трехмерном пространстве Эс точки зрения четырехмерного наблюдателяЭ.

Другой пассаж встретившийся когдато автору в книге по религиозной философии и также прямо использующий подобную процедуру был связан с попыткой наглядно описать ЭнесовершенствоЭ человека и его явно подчиненный статус по отношению к Эвысшим существамЭ как его ЭдвумерностьЭ в отличие от Этрехмерной жизниЭ последних. Утверждалось что человек сам не может вырваться из своего духовного двумерного существования иначе как получив Этретье измерениеЭ от высшего ЭбесконечномерногоЭ разума. Предлагаемый путь к этому естественно духовное самоочищение и молитва.

Обращает на себя внимание следующая мысль использованная в этом рассуждении сформулируем более формальноЖ ЭдвумерныйЭ объект не может стать ЭтрехмернымЭ под действием только лишь внутренних то есть тоже необходимо двумерных сил. Если бы это была задача о физическом движении материальной системы мы бы сказали что это есть прямое следствие закона сохранения импульса если изначально проекция импульса системы на некоторое направление отвечающее тому самому Этретьему измерениюЭ равна нулю то она останется такой пока нет внешних воздействий. Однако для того чтобы использовать ЭфилософскуюЭ форму этого утверждения мы как и в ЭфизическойЭ задаче должны быть уверены что исходное состояние объекта действительно двумерное В противном случае это утверждение теряет всякую силу.

Приведу два примера. Первый из них относится к истории теорий о происхождении Солнечной системы. Долгое время считалось что все планеты от Меркурия до Нептуна вращаются вокруг Солнца практически в одной плоскости. Такая очевидная ЭдвумерностьЭ движения позволяла строить теории в которых планеты образовывались из плоского и тонкого вращающегося газопылевого облака. И все в теории было достаточно гладко пока не обнаружились факты полностью разрушившие все стройное здание Энебулярной гипотезыЭ а именночтоЖ 1 орбита Плутона наклонена к плоскости движения остальных планет под очень большим углом и что 2 спутники Урана образающие вокруго него собственную большую ЭУрановую системуЭ также как и сам Уран вращаются в плоскости практически перпендикулярной плоскости в которой Уран движется вокруг Солнца.

Второй пример относится к относительно недавним исследованиям в области т.н. Эстранных аттракторовЭ появляющихся в системе уравнений описывающих сложную динамику жидкости. Не вдаваясь в подробности скажу что траектория движения частицы в этой системе долгое время движется по спирали расположенной практически в одной плоскости что побуждает считать движение ЭдвумернымЭ. Однако в некоторый принципиально непредсказуемый момент точка Эрезко выходит из плоскостиЭ и после короткого но сложного перехода начинает долгое движение по спирали лежащей в другой плоскости затем ситуация повторяется. Если бы не эти переходы происходящие редко в случайные моменты времени система была бы практически ЭблагопристойнойЭ двумерной системой но именно эти переходы составляют самую суть системы и привлекают к ней огромное внимание математиков и физиков.

Может быть все же Эприписывать человеку двумерные свойстваЭ некорректно даже Эс научной точки зренияЭ

Однако вернемся к использованию метода изменения размерности в философии. Прежде всего хотелось бы отметить разнообразные версии Эпринципа дополнительностиЭ о котором уже упоминалось. В качестве наглядной иллюстрации его использования предлагаю достаточно длинную цитату из книги всемирно известного философа специалиста по психолологии личности Виктора Франкла ЭЧеловек в поисках смыслаЭ х12ъ где автор излагает принципы т.н. Эдимензиональной онтологииЭ что можно интерпретировать как Эонтология основанная на понятии размерностьЭ. В этом отрывке В.Франкл иллюстрирует свои мысли с помощью уже знакомых нам геометрических образов пространств с различной размерностью и проекций объектов на эти пространства. Слово Виктору ФранклуЖ

...А где же единство человека Там где человек подобно старому кувшину весь расколот щелями и трещинами Экачественными скачкамиЭ Гегель Известно определение искусства как единства в многообразии. Я бы хотел определить здесь человека как единство вопреки многообразию. Ведь налицо антропологическое единство невзирая на онтологические различия невзирая на различия между разными формами бытия. Отличительным признаком человеческого бытия является сосуществование в нем антропологического единства и онтологических различий единого человеческого бытия и различных форм в которых оно проявляется. Короче человеческое бытие это ЭГтшефы ьгдешздучЭб выражаясь словами Фомы Аквинского. Оно не охватывается ни плюрализмом ни монизмом наподобие того с которым мы встречаемся в ЭЭтике Бенедикта де Спинозы доказанной в геометрическом порядкеЭ. Да будет мне однако позволено очертить понимание человека Эдоказанное в геометрическом порядкеЭ с использованием геометрических аналогий. Речь идет о димензиональной онтологии. Первый из двух законов димензиональной онтологии звучит такЖ

Один и тот же предмет спроецированный из одного измерения в низшие по отношению к нему измерения отображается в этих проекциях так что различные проекции могут противоречить друг другу. Например если стакан геометрической формой которого является цилиндр я проецирую из трехмерного пространства на двумерные плоскости соответствующие его поперечному и продольному сечению то в одном случае получается круг а в другом прямоугольник см. рис . Помимо этого несоответствия проекции противоречивы повидимому исходному материальному объекту В.К. уже постольку поскольку в обоих случаях перед нами замкнутые фигуры тогда как стакан это открытый сосуд...Э

ЭВторой закон димензиональной онтологии гласитЖ ...Различные предметы спроецированные из их измерения не в разные а в одно и то же низшее по отношению к нему измерения отображаются в своих проекциях так что проекции оказываются... многозначными. Если например я проецирую цилиндр конус и шар из трехмерного пространства на двумерную плоскость параллельную основаниям цилиндра и конуса то во всех трех случаях получается круг рис. Предположим что перед нами тени которые отбрасывают цилиндр конус и шар. Эти тени многозначны поскольку я не могу заключить на основании тени отбрасывает ли ее цилиндр конус или шар во всех случаях тень одна и та же...Э

ЭКак приложить теперь все это к человеку Человек также если у него редуцировать специфически человеческое измерение и спроецированить его на плоскости биологии и психологии отображается в них так что эти проекции противоречат друг другу... В свете димензиональной онтологии однако эта противоречивость не ставит под сомнение единство человека... Но будем помнитьЖ бессмысленно искать единство человеческого способа бытия преодолевающее многообразие различных форм бытия а также разрешение таких противоречий как антиномия души и тела в тех плоскостях на которые мы проецируем человека. Обнаружить его можно лишь в высшем измерении в измерении специфически человеческих проявлений...Э

ЭТеперь нам ясно что данные полученные в плоскости низших измерений сохраняют свою значимость в пределах этой плоскости. Это в равной степени относится к таким исследовательским подходам и направлениям как рефлексология Павлова бихеворизм Уотсона

психоанализ Фрейда и индивидуальная психология Адлера. Фрейд был достаточно гениален чтобы осознавать привязанность своей теории к определенному измерению...Э

Э...В терминах димензиональной онтологии более высокое измерение означает лишь что это более объемное измерение которое включает в себя низшее измерение. Низшее измерение оказывается ЭснятоЭ в высшем в том многозначном смысле который придавал этому слову Гегель...Э

ЭНо наука не только вправе но и обязана выносить за скобки многомерность реальности отграничивать реальность... Поэтому проекция более чем оправданна. Она необходима. Ученый должен сохранять видимость будто он имеет дело с одномерной реальностью. Однако он должен при этом знать что он делает иначе говоря он должен знать источники возможных ошибок чтобы миновать их в своем исследовании.Э Очевидно что последняя цитата взятая вне контекста психологофилософского трактата имеет полное право быть приложенной к любой области человеческой деятельности от социологии общества до строгой теоретической физики в силу общей значимости такого методологического подхода. Говоря о второй стороне методологии связанной с геометрией пространства и ее применением в философском анализе о возможности соотнесения понятий непрерывного и дискретного прерывного при использовании понятия сечения Пуанкаре и следов на сечении приведем пример прямого использования этого подхода взятый также из книги Виктора Франкла ЭЧеловек в поисках смыслаЭЖ

ЭВ мире как он описывается многими науками отсутствует смысл. Это однако означает не то что мир лишен смысла а то что многие науки слепы к нему... Не в каждом научном подходе может он проявитьсяж не каждым сечением возвращаясь к нашей аналогии он затрагивается. Рассмотрим кривую лежащую в вертикальной плоскости см. рис.. В горизонтальной плоскости от этой линии остаются всего лишь три несвязанные изолированные точки без осмысленной связи между ними. Осмысленная связь лежит выше и ниже горизонтальной плоскости. Не может ли так же обстоять дело с событиями которые наука считает редкими например со случайными мутациями И разве нельзя представить себе что существует скрытый смысл более высокий или более глубокий который не проявляется в данном сечении потому что лежит выше или ниже него как верхние и нижние части кривой... Чем более всеобъемлющ смысл тем менее он постижим. Бесконечный смысл лежит вне пределов постижения конечного существа... Это пункт где наука уступает и мудрость философия В.К. берет верх.Э