1. Возникновение понятия размерности пространства. Трехмерность мира от Аристотеля до Канта.
"...Множества Небосводов нет, ныне не было и не может возникнуть, но это Небо - одно единственно и в полноте своей совершенно."
Аристотель
То свойство материального мира, которое на современном языке называется размерностью или числом измерений пространства, было открыто, наверное правильнее сказать "увидено", еще в глубокой древности. Понятие геометрического пространства начало формироваться еще у Платона в 4 в. до н. э. [1]. К Платону и пифагорейцам восходит установление геометрических объектов разных размерностей - точка, линия, поверхность, тело - и связей между такими объектами: " линия - след движущейся точки, поверхность - след движущейся линии и т. п.” Такие взаимоотношения геометрических объектов стали основой одной из первых попыток доказать трехмерность пространства. К этой гениальной мысли о рекуррентном, т.е. последовательном определении размерности геометрического многообразия математики, а именно А. Пуанкаре, вернутся спустя 23 века.
Следующий шаг сделал Аристотель, он сопоставил линии поверхности и телу числа 1,2 и 3, вопреки пифагорейцам, которые точке, простейшему, с их точки зрения объекту, приписывали число 1 линии 2 и т.д. Аристотель выдвинул вполне конструктивное определение " ...тело... определяется протяженностью в трех направлениях. Другие величины делимы в одном или двух направлениях в соответствии с числами, которые сопоставляются различным величинам по количеству направлений, которыми характеризуется их делимость и непрерывность. Одна непрерывна в одном направлении, другая в двух и третья - во всех." [2]. И с этого момента понятие размерности было опутано двумя сетями - "непрерывностью", как необходимым свойством континуума в таком определении , и " параметричностью ", связыванием размерности с количеством параметров направлений, которое, в свою очередь уже неявно связано с определенными представлениями о структуре пространства: наличие независимых направлений, возможность введения фактически метрической системы координат и т. п. И если от второго математикам удалось в некоторой степени избавиться, развив в конце XIX начале XX века топологический подход к определению размерности, то требование непрерывности многообразий по-прежнему является краеугольным камнем математических построений, связанных с размерностью пространства.
Перенесемся от Аристотеля на две тысячи лет вперед в середину XVIII века к Иммануилу Канту. Это вовсе не означает, что между ними не было никого, чье имя стоило бы упомянуть в связи с историей представлений о размерности пространства. Но именно Канту принадлежит подлинно новая идея. В самой первой опубликованной работе студента Кенигсбергского университета Иммануила Канта, она называлась "Мысли об истинной оценке живых сил и разбор доказательств, которыми пользовались г-н Лейбниц и другие знатоки механики в этом спорном вопросе, а также некоторые предварительные соображения, касающиеся силы тел вообще", понятие размерности впервые было связано с конкретным физическим законом и оказалось причастным к одному из величайших "философских" противоборств в истории физики: соперничеству концепций абсолютности и относительности пространства. Из 180 страниц этой работы три посвящены 23-летним Кантом факту трехмерности пространства и главной мыслью можно считать следующую фразу: "Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния" [3]. Конечно мы могли бы сказать: "Легко может оказаться так, что причинно-следственная связь здесь, даже если она и есть, может быть обратной, такой закон взаимодействия имеет место именно в силу трехмерности пространства". Мы могли бы предположить, что любая попытка доказать трехмерность реального физического мира обречена на провал, так же как были обречены на провал попытки доказать пятый постулат Евклида. Мы могли бы сегодня сослаться на существование фундаментальных взаимодействий, не подчиняющихся такому закону. Все это правда, но сама же идея оказалась крайне заманчивой и плодотворной, ее реализация в 20х годах уже нашего века П. Эренфестом явилась существенным шагом на пути изучения геометрических свойств нашего мира.