Основные определения булевой алгебры.

В - некоторое множество, f и g - функции, для которых при x, y, z B выполняются следующие условия

Введем понятие пропозициональная форма. Пропозициональная форма - набор символов и отношение межде собой логических переменных, в простейшем варианте определения - связующая функция между переменными (объектами) в булевой логике, в которой переменные и сама функция принимают значения «0» и «1».

Чаще всего используют следующие функции:

а) повторение F = A, где А - переменная;

б) инверсия (отрицание, НЕ) F === A;

в) логическое сложение (дизъюнкция, ИЛИ) F = A + B = AB (функция двух переменных), выражение для большего числа переменных можно записать следующим образом F =, где - переменные;

г) логическое умножение (конъюнкция, И) F = A * B = A & B = AB (функция двух переменных), выражение для любого числа переменных - F = , где - переменные;

д) операция ИЛИ-НЕ F = (A + B) = ( стрелка Пирса); соответственно для нескольких переменных F = 

е) операция И-НЕ F =  (штрих Шеффера), для нескольких переменных -

F = переменные;

ж) операция «эквивалентность» F = AB =  (A  B) , функция принимает истинностные значения при равенстве значений А и В;

з) операция «неэквивалентность» F = A  B , функция принимает истинностные значения при неравенстве значений А и В («исключающее ИЛИ»);

и) операция «импликация» F = A  B , значение «ложно» функция принимает лишь при условии, когда А истинно, а В - ложно, то есть А  В = А &( В).

Следствие: если А и В пропозициональные формы (логические выражения), то и любые логические выражения с этими пропозициональными формами также являются логическими выражениями.

Любая пропозициональная форма может быть определена 3-мя связками: , &,  (НЕ, И, ИЛИ = инверсия, конъюнкция, дизъюнкция).

Любую функцию можно представить в нормальной конъюнктивной или нормальной дизъюнктивной форме, как сумму произведений либо произведение сумм прямых и инверсных значений переменных.

РАСПРОСТРАНЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА

1. x + x = x * j * x * x = x - идемпотентность;

2. (x + y) + z = x + (y + z) - ассоциативность;

3. (x * y) = (y * x), (x + y) = (y + x) - коммутативность;

4. x (x + y) = x * y + x = x - поглощение;

5. (x + y) * z = x * z + y * z -дистрибутивность;

6. - правила Де-Моргана.

УСЛОВНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ .

Приведем примеры обозначений логических элементов, наиболее часто применяемых в схемотехнике.

А F=

Повторитель А F=А ; инвертор А о F =; инвертор- > o

усилитель

А 0 F =

A

A x_o

B & F=A*B B &⁰ F = &

И И-НЕ x_n-1 И для многих переменных

А А х₀

1 F=A+B 1 F= 1 F=

В В ^{0 0}

ИЛИ ИЛИ-НЕ ИЛИ-НЕ для многих переменных

х1 х1

 = 1

F = F

x2 x2

Исключающее ИЛИ, неэквивалентность.

Символ ^О - означает инверсию на выходе или нга входе. В любой элемент может быть добавлен символ > , означающий усиление сигнала на выходе.

Пример. Приведем пример представления логической функции в пропозициональной форме и ее структурную схему.

Пусть известна таблица истинности для некоторой функции, которую нужно реализовать схемотехнически.

x1	x2	x3	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

F=P₁+P₂+P₃.

x1

^x o P₁

&

P₂ 1 F

x2 &

^{x O}

& P₃

x3 _{O x}

Основные логические функции можно проиллюстрировать примерами пересечения множеств:

«И» = & «ИЛИ» =  = +

А А

В В

«И-НЕ» =  (А&B) = A B «ИЛИ-НЕ» =  (А В) = А  В

В ВВВ В В

А А А

инверсия «НЕ» =  «импликация» = А&( В)

А А А В

Приведем примеры схемной реализации ряда распространенных логических функций с использованием трех основных логических действий (, , ):

« импликация» F =     *, таблица истинности функции:

A &

A	B	F
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

B _{O O} f =(АВ)=

«тавтология» F = А =1, А

&

О О 1

при помощи последней схемы можно выполнить

схему формирования сигнала, введя линию задержки из нечетного числа инверторов:

А

& o

Л.З. о

«Бистабильная ячейка» F =

A F

Бистабильная ячейка - это простейший элемент памяти, который является основой широко распространенных триггерных схем и оперативных запоминающих устройств. Приведем примеры условно-графических обозначений некоторых триггеров.

RS- триггер . o

R & Q R Q

RS-tr

S & S ^O

Логические элементы в RS-триггере могут быть как И-НЕ, так и ИЛИ-НЕ типа, выходные значения функций меняются при этом с точностью до инверсии. Триггеры на И-НЕ-базисе управляются положительными сигналами, а на ИЛИ-НЕ-базисе - отрицательными.

DC-триггер. Тактируемый триггер задержки выполняет следующую функцию:

D Q

D Q

При С = 0, - это элемент памяти, С о =

а при С = 1, . C ^O

Элемент памяти изображается обычно с соответствующими адресной (словарной) и разрядной (числовой) шинами управления: АШ(СШ)

ЭП РШ(ЧШ)

Структура матриц ПЛМ (SPLD) – две взаимоортогональные матрицы проводников, матрица И и матрица ИЛИ.

Входные сигналы поступают на парафазные входы матрицы И. Конъюнкции.

Выходы матрицы И соединены с входами матрицы ИЛИ (дизъюнкции).

Выходные шины матрицы И – промежуточные или множество термов (product terms).

Программировать можно любые сочетания матриц:

• программируются обе матрицы – ПЛМ=PLA.

• Программируется матрица ИЛИ, матрица И настроена на функцию полного ДШ – PROM.

• Программируется матрица И, матрица ИЛИ имеет фиксированную настройку при которой q промежуточных шин связывается с одним выходом – ПМЛ=PAL.

В последней структуре число промежуточных шин, подсоединяемых к одному выходу, ограничено. В случае необходимости можно для расширения возможностей ПМЛ объединяют выходы с помощью ЛЭ или проводным соединением (для инверсной логики). То, что программируется только одна матрица, упрощает и удешевляет структуру ПМЛ и увеличивает быстродействие. Благодаря упрощению матрицы ИЛИ в структуру ПМЛ добавляют цепи ОС и выходные буферы.



И

ПЛМ

n 

q

ИЛИ m



ДШ

ППЗУ

n 

2ⁿ

ИЛИ m

1 n

 

    ₁ ^ ИЛИ

^{    х}

    q ^

ПМЛ

₁

q

1 m

 программируемое соединение, ^ фиксированное соединение.

Рис. 1.1.4. Структура ПЛМ-ПМЛ.