dsd1-10 / dsd-06=Kruglov+АИС / lec / 3

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОУ КАК ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ.

Согласно определению линейной системы, ее реакция на входной сигнал не зависит от величины сигнала. Вследствие этого, отношение сигнала на выходе какой – либо линейной системы к входному , называемое передаточной функцией, полностью характеризует систему. Поскольку для линейных систем общепринятым аппаратом анализа является преобразование Лапласа, то принято

входной сигнал , выходной сигнал и, следовательно, передаточную функцию выражать в функции от s:

Из теории линейных цепей известно, что количество полюсов системы равно количеству в ней узлов. Практически же любая схема ОУ содержит более десятка компонентов и так же достаточно много узлов и, следовательно, полюсов.

Будем под «системой» подразумевать операционный усилитель (ОУ). Известно, что в подавляющем числе случаев ОУ используется в схемах с обратными связями (в качестве примера - повторитель на Рис. 1-5). В этом случае критичным фактором является задержка фазы в петле «инвертирующий вход» - «выход» - «инвертирующий вход» и зависимость ее от частоты. Сигналы с частотами, близкими к нулю, для которых можно пренебречь инерционностью процессов внутри ОУ и, соответственно, отсутствует частотозависимое отставание фазы, на пути «инвертирую

щ

Рис.1-5. Повторитель

ий вход» - «выход» изменяют фазу на 180^О.

При увеличении частоты к имеющемуся сдвигу фазы в 180^О добавляется отставание фазы, определяемое инерционностью процессов внутри ОУ. При достаточно большом отставании фазы, приближающемся к 180^О, общий сдвиг фазы в цепи обратной связи приближается к 360^О, что в лучшем случае ухудшает переходные характеристики ОУ (в передаточной характеристике появляются комплексные полюса, поэтому во временной области появляются колебательные компоненты), а в худшем – нарушает устойчивость его работы. Разница между предельным сдвигом фазы (равном 360^О) и фактическим (между 270^О и 360^О) называется «запасом фазы». Очевидно, что чем больше частота, тем меньше запас фазы. Величина запаса фазы критична только на частотах, когда усиление ОУ еще больше единицы, т.е. для частот , где - круговая частота, при которой модуль коэффициента усиления равен нулю. Полностью неприемлемым является случай, когда при запас фазы равен нулю. При этом в выражении (1.7) существует хотя бы одно слагаемое типа (во временной области соответствует слагаемому типа ) и наблюдаются незатухающие колебания с частотой, определяемой конкретной схемой ОУ и частотными характеристиками элементов. Идеальной с точки зрения качества характеристик ОУ является его передаточная функция типа с действительными полюсами ( - коэффициенты усиления последовательно включенных субсистем 1–го порядка, ). В этом случае систему вполне корректно представить как совокупность пассивных интегрирующих RC-цепочек, разделенных идеальными буферами с единичным усилением. (Рис.1.5). Очевидно, что в разомкнутой подобной системе никаких проблем с устойчивостью нет. Проблемы возникают только в схемах с обратной связью.

Рис.1.5. Эквивалентное представление многополюсной системы без обратных связей с многими ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ полюсами.

Основные усилия разработчиков ОУ направлены на разработку та- ких схем, при которых ОУ можно представить эквивалентной схемой на Рис.1.5. Типичный вид ЛАЧХ подобной системы приведен на Рис.1.6. Известно, что усилительная система как минимум второго порядка на высоких частотах имеет сдвиг фазы, приближающийся к 180О, что при достаточно высоком коэффициенте отрицательной обратной связи является достаточным условием как нежелательных колебаний в переходном процессе, так и появления незатухающих колебаний.

…..

Рис.1.5. ЛАЧХ многополюсной системы

с действительными полюсами

Проведем анализ системы с действительными полюсами при следующем предположении, упрощающем математические выкладки: выделим особо самый низкочастотный полюс, называемый основным, с собственной частотой , остальные же, более высокочастотные полюса, с частотами , называемые неосновными, заменим одним, эффективным неосновным полюсом, с собственной частотой , и имеющим такой же эффект влияния на фазу системы, как от всех заменяемым им неосновных полюсов.

Имея это в виду, рассмотрим подробнее усилительную систему с передаточной функцией в разомкнутом состоянии и с передаточной функцией при наличии отрицательной обратной связи с коэффициентом :

Пусть

где и - действительные полюса, а полюс имеет наинизшую собственную частоту . - соответственно выходные сопротивление и емкость i – го узла. Подставляя выражение для в выражение для с учетом выражений для по и, получаем:

Исследуем условия, при которых имеет действительные полюса.

Пусть . Тогда дискриминант квадратного уравнения относительно s в знаменателе положителен при .

Пусть и . Тогда из (1.13) следует, что , а если , то .

Итак, для того, чтобы система с отрицательной обратной связью имела действительные полюса, необходимо, чтобы:

• полюса очень сильно отличались по частоте, т.е. ;

• второй, более высокочастотный, эффективный неосновной полюс имел собственную частоту , при которой, во – первых, коэффициент усиления системы меньше единицы и, во – вторых, , где - частота единичного усиления.

Неизбежный вывод: все неосновные полюса операционного усилителя со всеми действительными полюсами должны иметь собственные частоты при усилении, меньшем единицы!

МЕТОДИКА ЗАМЕНЫ НЕСКОЛЬКИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ НЕОСНОВНЫХ ПОЛЮСОВ ОДНИМ «ЭФФЕКТИВНЫМ» НЕОСНОВНЫМ ПОЛЮСОМ

Пусть в ОУ кроме основного полюса имеются два неосновных, и :

Рассмотрим произведение . Поскольку расматривается СТАЦИОНАРНАЯ ситуация, то , и произведение равно , где .

Пусть и . Тогда .

Поскольку и больше единицы в несколько раз, то произведение , и . Отсюда следует, что на критичной частоте произведение заменяется на , где

.

Доказательство легко распространить на большее количество полюсов, а также на случай наличия НУЛЕЙ на частотах .

Предлагаем без доказательства утверждение:

.

Здесь:

- круговая частота i – го неосновного полюса;

- круговая частота i – го нуля в ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ полуплоскости;

- круговая частота i – го нуля в ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ полуплоскости.

Противоположное влияние на нулей в положительной и отрицательной полуплоскостях отражает тот факт, что при наличии нулей в отрицательной полуплоскости система является минимальнофазовой и наоборот, при нулях в положительной полуплоскости система неминимальнофазовая.

РАСЧЕТ ЗАПАСА ФАЗЫ ОУ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ПОЛЮСАМИ

Передаточная функцией ОУ является комплексное число: . Фаза этого числа: . Запас фазы РМ есть . Для расчета РМ передаточная функция представляется в виде , где значение рассчитывается согласно (1.16).

Итак:

Учтем, что , , подставляем в (1.17), выделяем действительную и мнимую части комплексной передаточной функции и сокращаем на .

В этом случае .

Поскольку , как правило, значительно больше 1000, а то

.