dsd1-10 / dsd-06=Kruglov+АИС / LECTIONS / 7_Дискретиз+ТеорияZ

СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ ВО ВРЕМЕНИ СИГНАЛОВ

Поскольку концепция Переключаемых Конденсаторов ПК) содержит дискретизацию во времени, необходимо учитывать эффекты, являющиеся следствием дискретизации.

Пусть имеем непрерывный во времени сигнал X(t) (Рис. 3.5.), подаваемый на дискретно – аналоговую систему, на входе которой стоит дискретизатор, представляющий на выходе системы сигнал в дискретном во времени виде с промежутком времени Т (период) между дискретами (Рис.3.6.).

Д

Рис.3.5. Непрерывный во времени сигнал X(t)

Рис.3.6. Дискретизированный во времени сигнал X#(t)

искретизированный во времени сигнал можно представить в виде произведения на некую функцию ,оставляющую у значения только в

моменты , где n – целое

число:

.

Периодичность функции однозначно характеризуется возможностью разложения ее в ряд Фурье:

, где .

Рис.3.7. Дискретизирующая функция

Итак:

Определим спектр сигнала , для чего произведем его Фурье – преобразование:

Поскольку не зависит от n, умножим на эту величину каждый член ряда:

Сомножитель задает зависимость результата от частоты. Очевидно, что результат зависит от значения , которое принимает одни и те же значения при частотах , периодически изменяющихся с периодом . Другими словами, спектральная характеристика дискретизированного во времени сигнала имеет периодический вид.

Рис.3.8. Спектральная характеристика дискретизированного во времени сигнала

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Излагая введение в Z – преобразование, будем следовать монографии […].

Р

Рис.3.9. Дискретизирующая схема

ассмотрим дискретизирующую схему на Рис.3.9. Ключ S1 моментально заряжает конденсатор С до мгновенного значения входного сигнала в моменты Т, 2Т, 3Т, … . Это значение сигнала держится в течение времени , и затем ключ S2 мгновенно разряжает конденсатор до нуля (см. Рис.3.10). На выходе дискретизатора находится буфер с коэффициентом усиления К.

Определим ступенчатую функцию . Пусть при и при . Тогда, согласно Рис.3.10, n – й отсчет функции можно представить в виде:

Рис.3.10. Дискретизированный эквивалент непрерывной функции

.

Предполагая при , дискретизированный эквивалент этой функции можно записать:

(3.11)

Произведем для преобразование Лапласа и найдем изображение . Учитывая что , а также , получаем:

(3.12)

Пусть ширины импульсов, представляющих функцию , очень малы, тогда в (3.12) можно записать:

. (3.13)

Для выражения для положим . Итак, не амплитуда, а площадь каждого импульса функции равна , и выражение (3.12) записывается в виде:

, (3.14)

где .

Выражение (3.14) называется Z – преобразованием дискретных выборок функции .

Поскольку Z – преобразование является таким же интегральным преобразованием, как и преобразование Лапласа, все свойства Z – преобразования повторяют свойства преобразования Лапласа, но с учетом (3.14), т.е. .

Определим два важных дискретных сигнала – две последовательности.

1. последовательность «единичный импульс» , определяемая следующим образом:

при и при (3.15)

Непрерывный сигнал , подвергнутый дискретизации и представленный мгновенными выборками в моменты времени 0, Т, 2T, 3T, … nT, … можно выразить через последовательность «единичный импульс» следующим образом:

(3.16)

2. последовательность «единичный скачок» , определяемая следующим образом:

при и при (3.17)

Из определений (3.15) и (3.17) можно показать, что последовательности единичный импульс и единичный скачок связаны соотношениями:

(3.18а)

(3.18б).

Пусть - отклик линейной системы при всех нулевых начальных условиях на единичный импульс . Тогда последовательность является откликом на . Из линейности системы и входной последовательности (3.16) выходная последовательность задается выражением:

(3.19а)

Это означает, что линейная дискретная во времени система характеризуется ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ , т.е. выходной последовательностью при единичном импульсе на входе и нулевых начальных условиях. В уравнении (3.19а) можно заменить переменную, результат при этом не изменится:

(3.19б)

Оба уравнения (3.19а) и (3.19б) обозначают СВЕРТКУ двух последовательностей и .

Линейная система называется УСТОЙЧИВОЙ, если импульсная характеристика удовлетворяет условию:

(3.20) и ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМОЙ, если

для . (3.21)