1.3. Однородные дифференциальные уравнения

В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде:

, (1.3)

где функции иоднородные функцииодного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде.

Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть. Вычислим. Подставимив уравнение (1.3):

. (1.4)

Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и, то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены, записываем решение исходного уравнения (1.3).

Пример 1.3.Решить дифференциальное уравнение.

Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае=и=− однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены, то есть.

2) Используя , перепишем уравнение– уравнение с разделяющимися переменнымии. Для полученного уравнения выделим очевидные решения=0, то естьи.

3) После этого запишем уравнение в виде =, которое легко интегрируется=, или, или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде.

4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения. При=0 из общего решения получаем также решение.

Ответ.;=0.

Задание 1.3. Решить однородное уравнение.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.3.1.		1.3.16.
1.3.2.		1.3.17.
1.3.3.		1.3.18.
1.3.4.		1.3.19.
1.3.5.		1.3.20.
1.3.6.		1.3.21.
1.3.7.		1.3.22.
1.3.8.		1.3.23.
1.3.9.		1.3.24.
1.3.10.		1.3.25.
1.3.11.		1.3.26.
1.3.12.		1.3.27.
1.3.13.		1.3.28.
1.3.14.		1.3.29.
1.3.15.		1.3.30.

1.4. Линейные дифференциальные уравнения

Заданное дифференциальное уравнение называют линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-ой степени:

.

Рассмотрим решение уравнения, записанного в виде применением подстановки (метод Бернулли), гдеи.

Для функции вычислим производнуюи вместе с выражениемподставим в заданное уравнение:

.(1.5)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию. Это уравнение с разделяющимися переменными. Нам нужно одно частное решение уравнения. Разделим переменные и проинтегрируем, или. Подставивв (1.5), получим для нахожденияуравнение с разделяющимися переменными. Последнее легко интегрируется+.

Остаётся записать общее решение заданного уравнения =, из которого для заданных начальных условий выделяют частное решение.

Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение. Найти его частное решение при условии.

Решение.1) Заданное уравнение линейное относительно и , причёми.

2) Применяя подстановку , перепишем заданное уравнение=.

3) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение=, или=.

4) Теперь, интегрируя уравнение: , получаем =+=+.

5) Записываем общее решение заданного уравнения =·.

6) Используя начальные условия (задача Коши), находим =1 и записываем частное решение уравнения=·.

Ответ.=·– общее решение,=·– частное решение.

Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий.

Вар.	Уравнение и начальные условия:	Вар.	Уравнение и начальные условия:
1.4.1.	, .	1.4.16.	, .
1.4.2.	, .	1.4.17.	, .
1.4.3.	, .	1.4.18.	, .
1.4.4.	, .	1.4.19.	, .
1.4.5.	, .	1.4.20.	, .
1.4.6.	, .	1.4.21.	, .
1.4.7.	, .	1.4.22.	, .
1.4.8.	, .	1.4.23.	, .
1.4.9.	, .	1.4.24.	, .
1.4.10.	, .	1.4.25.	, .
1.4.11.	, .	1.4.26.	, .
1.4.12.	, .	1.4.27.	, .
1.4.13.	, .	1.4.28.	, .
1.4.14.	, .	1.4.29.	, .
1.4.15.	, .	1.4.30.	, .