2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка

Для решения однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n-го порядка применяют описанный в п.2.1. алгоритм решения уравнений 2-го порядка, то есть записывают характеристическое уравнениеи находят его корни. Необходимо лишь учесть, что:

1. каждому действительному корню кратностихарактеристического уравнения соответствуетрешений в ФСР:и, …,;

2. каждой паре комплексных корней кратностихарактеристического уравнения соответствуетрешений в ФСР:,,,,…,,.

Задание 2.2. Найти общие решения уравнений.

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение
2.2.1.	.	2.2.16.	.
2.2.2.	.	2.2.17.	.
2.2.3.	.	2.2.18.	.
2.2.4.	.	2.2.19.	.
2.2.5.	.	2.2.20.	.
2.2.6.	.	2.2.21.	.
2.2.7.	.	2.2.22.	.
2.2.8.	.	2.2.23.	.
2.2.9.	.	2.2.24.	.
2.2.10.	.	2.2.25.	.
2.2.11.	.	2.2.26.	.
2.2.12.	.	2.2.27.	.
2.2.13.	.	2.2.28.	.
2.2.14.	.	2.2.29.	.
2.2.15.	.	2.2.30.	.

2.3. Метод вариации произвольных постоянных решения неоднородных дифференциальных уравнений

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.

1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение

. (2.1)

2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , гдеи– функции ФСР, аи– произвольные постоянные.

3) Заменим постоянные ина функциии, причём так, что функциябудет уже решением неоднородного уравнения.

4) Найдём производную для функции:=+и потребуем

=0, (2.2)

то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянныхи.

5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем=+.

6) Подставив ,ив исходное уравнение и учитывая, чтоиявляются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциями

=. (2.3)

7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:

(2.4)

8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и, которые затем интегрируем:

и. (2.5)

В выражении (2.5) величины и– произвольные постоянные.

9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и, записываем общее решение неоднородного уравнения:

. (2.6)

Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где– общее решение однородного уравнения (2.1), а функция=– частное решение неоднородного уравнения.

Пример 2.3.Решить задачу Коши,,, применив метод вариации произвольных постоянных.

Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение.

2) Характеристические корни уравнения: . ФСР:и. Составим общее решение однородного уравнения:=.

3) Составим систему: В нашем случае:Из этой системы получаеми.

4) Вычислим: =и==. Составим частное решение неоднородного уравнения

==.

5) Составим общее решение неоднородного уравнения .

6) Для заданных начальных условий получаем ,.

Ответ:Общее решение:,частное решение:.

Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.3.1	;	=1,=.
2.3.2.	;	.
2.3.3.	;	=1,=.
2.3.4.	;	.
2.3.5.	;	=1,=.
2.3.6.	;	.
2.3.7.	;	=1,=.
2.3.8.	;	.
2.3.9.	;	=1,=.
2.3.10.	;	.
2.3.11.	;	=1,=.
2.3.12.	;	.
2.3.13.	;	=1,=.
2.3.14.	;	.
2.3.15.	;	=1,=.
2.3.16.	;	.
2.3.17.	;	=1,=.
2.3.18.	;	.
2.3.19.	;	=1,=.
2.3.20.	;	.
2.3.21.	;	=1,=.
2.3.22.	;	.
2.3.23.	;	=1,=.
2.3.24.	;	.
2.3.25.	;	=1,=.
2.3.26.	;	.
2.3.27.	;	=1,=.
2.3.28.	;	.
2.3.29.	;	=1,=.
2.3.30.	;	.