Отчет к упражнению 1

Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а также уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической форме. A(3;−1), B(7;−4), C(6; 3).

clear all;close all;clc;

subplot(2,2,1);axis equal;grid on;

A=[3;-1];B=[7;-4];C=[6;3];

%находим координаты вектора ВС

BC=C-B;

%найдем длину вектора ВС

l=sqrt(sum(BC.^2));

%найдем направляющий вектор

q=BC/l;

%найдем нормальный вектор

n=[q(2);-q(1)];

%выведем нормальный и направляющий векторы

line([0;q(1)],[0;q(2)],'Color','black','LineWidth',4);

line([0;n(1)],[0;n(2)],'Color','red','LineWidth',4);

%выведем стороны треугольника

line([A(1);B(1)],[A(2);B(2)],'Color','black','lineWidth',2);

line([B(1);C(1)],[B(2);C(2)],'lineWidth',2);

line([A(1);C(1)],[A(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',2);

%выведем координты вершин

text(A(1)-1,A(2)+0.5,'A=(3;-1)');

text(B(1),B(2),'B=(7;-4)');

text(C(1),C(2),'C=(6;3)');

%найдем целые координаты вектора n

l*n

ans =

7

1

%7*(x-6)+1*(y-3)=7x+y-45=0

%выведем заголовок - уравнение прямой ВС в общем виде

title('7x+y-45=0');

%--------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------

subplot(2,2,2);axis equal;grid on;

%выведем стороны треугольника

line([A(1);B(1)],[A(2);B(2)],'Color','black','lineWidth',2);

line([B(1);C(1)],[B(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',4);

line([A(1);C(1)],[A(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',2);

%выведем координты вектора

text(A(1)-1,A(2)+0.5,'A=(3;-1)');

text(B(1),B(2)+0.3,'B=(7;-4)');

text(C(1),C(2),'C=(6;3)');

AB=B-A;

%найдем расстояние от А до ВС как модуль

%проекции вектора АВ на нормаль к ВС

r=abs(sum(AB.*n))/sqrt(sum(n.^2));

%найдем координату точки H

AH=r*n;H=A+AH

H =

6.5000

-0.5000

%выведем координаты точки Н

text(H(1)+0.5,H(2),'H=(6.5;-0.5)');

%построим AH

line([A(1);H(1)],[A(2);H(2)],'Color','blue','lineWidth',2);

%найдем нормальный и направляющий векторы к прямой АН, выведем их

lh=sqrt(sum(AH.^2));%длина вектора АН

qh=AH/lh;%направляющий для прямой АН

nh=[-qh(2);qh(1)];%нормальный для прямой АН

%изобразим направляющий и нормальный вектора из начала координат

line([0;qh(1)],[0;qh(2)],'Color','black','LineWidth',4);

line([0;nh(1)],[0;nh(2)],'Color','red','LineWidth',4);

%найдем целые координаты вектора nh

lh*nh*2

ans =

-1

7

%-(x-3)+7(y+1)=-x+7y+10=0;x-7y-10=0

%выведем заголовок - уравнение прямой АН в общем виде

title('x-7y-10=0');

%--------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------

subplot(2,2,3);axis equal;grid on;

%выведем стороны треугольника

line([A(1);B(1)],[A(2);B(2)],'Color','black','lineWidth',2);

line([B(1);C(1)],[B(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',4);

line([A(1);C(1)],[A(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',2);

%выведем координты вектора

text(A(1)-1,A(2)+0.5,'A=(3;-1)');

text(B(1),B(2)+0.3,'B=(7;-4)');

text(C(1),C(2),'C=(6;3)');

%найдем координаты точки М - середины ВС

M=(B+C)/2

M =

6.5000

-0.5000

text(M(1)+0.5,M(2),'M=(1,-7)');

%построим медиану АМ

line([A(1);M(1)],[A(2);M(2)],'lineWidth',2);

AM=M-A;lm=sqrt(sum(AM.^2));

%найдем направляющий к прямой АМ

qm=AM/lm;

%найдем нормальный к прямой АМ

nm=[qm(2);-qm(1)];

%построим qm и nm

line([0;qm(1)],[0;qm(2)],'Color','black','lineWidth',4);

line([0;nm(1)],[0;nm(2)],'Color','red','lineWidth',4);

%найдем целые координаты вектора nm

nm*lm*2

ans =

1

-7

%(x-3)-7(y+1)=x-7y-10=0

%выведем заголовок - уравнение прямой АМ в общем виде

title('x-7y-10=0');

%--------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------------------------

subplot(2,2,4);axis equal;grid on;

%выведем стороны треугольника

line([A(1);B(1)],[A(2);B(2)],'Color','black','lineWidth',2);

line([B(1);C(1)],[B(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',4);

line([A(1);C(1)],[A(2);C(2)],'Color','black','lineWidth',2);

%выведем координты вектора

text(A(1)-1,A(2)+0.5,'A=(3;-1)');

text(B(1),B(2)+0.3,'B=(7;-4)');

text(C(1),C(2),'C=(6;3)');

AC=C-A;%вектор АС

e1=AB/sqrt(sum(AB.^2));%единичный направляющий к АВ

e2=AC/sqrt(sum(AC.^2));%единичный направляющий к АC

qk=e1+e2;%направляющий к биссектрисе АК

nk=[qk(2);-qk(1)];%нормальный к прямой АК

%построим qk и nk

line([0;qk(1)],[0;qk(2)],'Color','black','lineWidth',4);

line([0;nk(1)],[0;nk(2)],'Color','red','lineWidth',4);

%найдем целые координаты вектора nk

nk*5

ans =

1.0000

-7.0000

%(x-3)-7(y+1)=x-7y-10=0

%выведем заголовок - уравнение прямой АМ в общем виде

title('x-7y-10=0');

%очевидно, что прямая АК совпадает с прямой АМ )т.к. совпадают уравнения),

%т.е. точка К совпадает с точкой М

K=M;

line([A(1);K(1)],[A(2);K(2)],'lineWidth',2);

text(K(1)+0.5,K(2),'K=(1,-7)');

Ответ: ВС: 7x+y-45=0, (x-6)/(-1)=(y-3)/7, y=-7x+45, x/(45/7)+y/45=1

AH, AM, AK: x-7y-10=0, (x-3)/7=(y+1)/1, y=(1/7)x-10/7, x/10+y/(-0.7)=1

Отчет к упражнению 2

Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.

clear all;close all;clc;

%координаты нормальных векторов

q1=[1/2,1,3];q2=[1,2,6];

%координаты точек, лежащих на этих прямых

M1=[3/4,5,-1];M2=[-2,-4,-2];

%найдем векторное произведение [q1,q2]

n=cross(q1,q2);

%векторное произведение равно нулю, значит, прямые параллельны

%нормаль к плоскости - векторное произведение [q1,M1M2]

M1M2=M2-M1;

n=4*cross(q1,M1M2)

n =

104 -31 -7

A=n(1),B=n(2),C=n(3)

A =

104

B =

-31

C =

-7

%A(x+2)+B(y+4)+C(z+2)=Ax+By+Cz+D=0, откуда найдем D

D=2*A+4*B+2*C

D =

70

%получаем общее уравнение плоскости

title('104x-31y-7z+70=0');

%построим плоскость

x=-50:1:50;z=-50:1:50;

[X,Z]=meshgrid(x,z);

Y=(-A*X-C*Z-D)/B;

box on;grid on;hold on;axis square;axis equal;

%изобразим плоскость

plot3(X,Y,Z);

%изобразим нормальный вектор

line([M1(1);M1(1)+n(1)],[M1(2);M1(2)+n(2)],[M1(3);M1(3)+n(3)],'Color','red','lineWidth',4);

%изобразим прямые

m=[-20,-36.5,-125.5];

line([m(1);m(1)+80*q1(1)],[m(2);m(2)+80*q1(2)],[m(3);m(3)+80*q1(3)],'Color','green');

m=[-20,-40,-110];

line([m(1);m(1)+40*q2(1)],[m(2);m(2)+40*q2(2)],[m(3);m(3)+40*q2(3)],'Color','blue');

%построим направляющие

line([M1(1);M1(1)+20*q1(1)],[M1(2);M1(2)+20*q1(2)],[M1(3);M1(3)+20*q1(3)],'Color','green','lineWidth',4);

line([M2(1);M2(1)+20*q2(1)],[M2(2);M2(2)+20*q2(2)],[M2(3);M2(3)+20*q2(3)],'Color','blue','lineWidth',4);

Ответ: 104x-31y-7z+70=0, прямые параллельны