Часть I. Аналитическая геометрия

Глава 1. Векторы

§1. Сложение векторов и умножение на число

Напомним, что сумма двух векторов может быть найдена: а) по правилу треугольника; б) по правилу параллелограмма (см. рис. 1).

Рис.1.

Если векторы иколлинеарны (записывается это так:), то “работает” только первое правило. Кроме того, для любых точекплоскости или пространства имеет местоправило трёх точек: (см. рис. 2).

Рис.2.

Понятно, что равенства такого вида можно писать, даже не делая чертежа: и т.д. Если нам надо разложить какой-либо вектор (например,) в сумму, то можно попробовать разные варианты:и т.д.

Решим в качестве иллюстрации несколько задач.

Задача 1. Дан правильный шестиугольник Точка– середина стороныВыразить векторчерез векторы

Решение (см.рис.3). Известно, что правильный шестиугольник разбивается диагоналями на 6 правильных треугольников.

Рис.3.

Поэтому Используя правило трёх точек, получим:

Задача 2. В параллелепипеде точка– центр граниВыразить векторчерез векторы

Решение (см. рис. 4).

Рис.4

Имеем:

В некоторых случаях для того, чтобы выразить какой-либо вектор через другие, приходится решать отдельно задачу из элементарной геометрии или систему уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 3. В окружности с центром проведены радиусыиРадиусделит уголпополам. Зная, чтоинайти вектор

Решение (см. рис. 5).

Рис.5.

Пусть – середина отрезкаТогдаТак как векторыимеют одинаковую длину, а векторобразует с ними одинаковые углы, топри некоторомОчевидно,Следовательно,Отсюда получаем:Таким образом,

Задача 4. В параллелограмме и– середины сторонисоответственно. Выразить векторчерез векторы

Решение (см. рис 6).

Рис.6.

Введём векторы иВекторыиможно выразить черезии аналогичноНа эти равенства можно смотреть как на систему уравнений

Решим эту систему. Имеем: откуда получаем:т.е.ОтсюдаТаким образом,

Задача 5. В треугольнике – биссектриса углаВыразить векторчерез векторыи длины этих векторов.

Решение (см. рис. 7). По свойству биссектрисы имеем:

Рис.7.

Следовательно, Отсюда получаем:

Задача 6. Пусть – точка пересечения медиан треугольникаВычислить сумму

Решение (см. рис. 8).

Рис.8.

Пусть – середины сторонсоответственно. Продлим отрезокза точкуна величину, равнуюМы получим отрезокТак как диагонали четырёхугольникаточкой пересеченияделятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, по правилу параллелограммаДалее, по свойству медианпоэтомуа значит,Теперь можно вычислить требуемую сумму:

Покажем, как с помощью векторов можно доказывать утверждения. Напомним, что пространственным четырёхугольником называется четырёхугольник, вершины которого могут не лежать в одной плоскости.

Задача 7. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон пространственного четырёхугольника, а также отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Решение (см. рис. 9).

Рис.9.

Пусть – середины сторонсоответственно. Обозначим черезисередины диагоналейисоответственно. Требуется доказать, что середины отрезковисовпадают. Пусть– середина отрезкаа– произвольная точка пространства. Тогда получаем:

Рассуждая аналогично, получим, что если – середина отрезкатоТаким образом,откуда следует, что точкиисовпадают. Обозначим черезсередину отрезкаИмеем:

Теперь ясно, что