
- •Глава 4. Плоскость и прямая в пространстве § 1. Векторное и смешанное произведение векторов
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Геометрический смысл смешанного произведения
- •Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •Условия коллинеарности и компланарности векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве
- •§ 3. Расстояние и отклонение точки от плоскости
- •§ 4. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить угол между прямой
и плоскостью
Ответ:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости
Ответ:
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и параллельной прямой
Ответ:
Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ординат и точку
Ответ:
Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек
и
Ответ:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
Ответ:
Через точку
провести прямую, перпендикулярную плоскости
Ответ:
Через прямую
провести плоскость, параллельную прямой
Ответ:
Через точку
провести плоскость, перпендикулярную плоскостям
и
Ответ:
Составить уравнение плоскости, симметричной плоскости
а) относительно начала координат, б) относительно оси
в) относительно плоскости
г) относительно плоскости
д) относительно точки
Ответ: а)
б)
в)
г)
д)
Составить уравнение прямой, симметричной прямой
а) относительно начала координат, б) относительно оси
в) относительно плоскости
г) относительно плоскости
д) относительно точки
Ответ: а)
б)
в)
г)
д)
Найти точку пересечения плоскости
и прямой, проходящей через точки
и
Ответ:
При каких
прямая
а) параллельна плоскости
б) перпендикулярна этой плоскости? Ответ: а)
б) таких
нет.
При каких
прямые
и
– скрещивающиеся? Ответ:
Спроектировать точку
на плоскость
Ответ:
Спроектировать точку
на прямую
Ответ:
Спроектировать ось
на плоскость
Ответ:
Найти расстояние от точки
до плоскости
Ответ:
Найти расстояние между плоскостями
и
Ответ:
Составить уравнение плоскости, расположенной на одинаковых расстояниях от плоскостей
и
Ответ:
На оси ординат найти точку, равноудалённую от плоскостей
и
Ответ:
и
Найти расстояние от точки
до прямой
Ответ: 5.
Найти расстояние от начала координат до прямой
Ответ:
Найти расстояние между прямыми
и
Ответ:
Найти расстояние между прямыми
и
Ответ:
Найти расстояние между прямой
и осью абсцисс. Ответ:
Ребро куба равно
Найти расстояние между скрещивающимися диагональю куба и диагональю грани куба. Ответ:
Боковые грани правильной шестиугольной призмы являются квадратами со стороной
Вычислить расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней призмы. Ответ:
На прямой
найти точку, удалённую от оси абсцисс на расстояние, равное 5. Ответ:
или
На оси абсцисс найти все точки, равноудалённые от прямых
и
Ответ:
и
Выяснить взаимное расположение плоскостей: а)
и
б)
и
в)
и
Ответ: а) пересекаются по параллельным прямым; б) пересекаются в точке; в) проходят через одну прямую.
Составить уравнение биссектрисы
треугольника
в котором
Ответ:
Найти угол между гиперплоскостями
и
(в четырёхмерном пространстве). Ответ:
Спроектировать точку
на гиперплоскость
(в четырёхмерном пространстве). Ответ:
Найти точку, симметричную точке
относительно прямой
Ответ:
Даны точки
и
На оси абсцисс найти точку
такую, что площадь треугольника
равна 2. Ответ:
и
Даны точки
и
На плоскости
найти точку
такую, что
– равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой
Ответ:
и
Даны прямые
и
Составить уравнение общего перпендикуляра к этим прямым, пересекающего данные прямые. Ответ:
Через точку
провести прямую, пересекающую прямые
и
Ответ: