§ 3. Расстояние и отклонение точки от плоскости

Пусть – плоскость, заданная уравнениеми– произвольная точка пространства. Тогдарасстояние от точкидо плоскости выражается формулой

(10)

В знаменателе этой дроби стоит длина вектора – нормального вектора плоскостиТаким образом,чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо подставить координаты точки в уравнение плоскости и разделить полученное число на длину нормального вектора; при этом мы получим число, которое может быть отрицательным – в этом случае берём его по абсолютной величине.

Если в формуле (10) убрать знак модуля, то мы получим величину

(11)

называемую отклонением точки от плоскости

Очевидно, и

Замечание. Определённое по формуле (11) отклонение отличается от того отклонения, которое принято в ряде учебников (а именно, еслииесли). Мы будем пользоваться формулой (11).

Геометрический смысл отклонения точки от плоскости точно такой же, как у отклонения точки от прямой на плоскости (см. раздел “Прямая на плоскости”). А именно, отклонение по абсолютной величине равно расстоянию, причём если точканаходится от плоскостипо ту сторону, в которую направлен нормальный векториесли она находится по другую сторону(см. рис. 11).

Рис.11.

Разберём задачи на расстояния и отклонения.

Задача 16. Найти расстояние между плоскостями и

Решение. Плоскости параллельны, так как их нормальные векторы иколлинеарны:Поэтому расстояние между этими плоскостями равно расстоянию от какой-нибудь точки первой плоскости до второй плоскости. Возьмём точку первой плоскости:Тогда

Задача 17. В прямоугольном параллелепипеде Найти расстояние от вершиныдо плоскости

Решение. Введём систему координат с началом как показано на рисунке 12.

Рис.12.

Используя формулу (4), мы можем записать уравнение плоскости “в отрезках”:

(12)

Нам требуется найти расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением (12). Перенесём единицу в левую часть равенства:Применим формулу (10):

Задача 19. Определить, лежит ли точка между плоскостями и

Решение. Обозначим эти плоскости через иТак как плоскости имеют один и тот же нормальный вектор и не совпадают (это видно из уравнений плоскостей), то плоскости параллельны. Вычислим по формуле (11) отклонения:

Так как отклонения одного знака, то точка не лежит между плоскостями (см. рис. 13).

Рис.13.

Задача 20. Даны плоскости и точкиОпределить, точкиилежат внутри одного, смежных или вертикальных углов, образованных плоскостямии

Решение. Вычисляем отклонения:

–

значит, илежат по одну сторону от плоскости

–

значит, илежат по разные стороны от плоскостиОтсюда следует, чтоилежат внутрисмежных двугранных углов.

§ 4. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть – прямая с направляющим вектороми– точка прямой(см. рис. 14).Расстояние от точки до прямойвыражается формулой

(13)

Рис.14.

Пусть – скрещивающиеся прямые,– их направляющие векторы и– какие-либо точки, лежащие на прямыхсоответственно (см. рис. 15).Расстояние между скрещивающимися прямыми можно вычислить по формуле

(14)

Рис.15.

Замечание. Если прямые пересекаются (но не совпадают), то формула (14) к ним также применима и она показывает, что расстояние между прямыми равно 0.По формуле (14) нельзя вычислять расстояния между параллельными прямыми.

Задача 21. Найти расстояние от точки до прямой

Решение. Из уравнения прямой найдём её направляющий вектор и точку: иОтсюдаПо формуле (13) получим:

Задача 22. Найти расстояние между прямыми и

Решение. Обозначим данные прямые иПрямые параллельны, они имеют один и тот же направляющий векторпоэтому формулу (14) применять нельзя. Применим формулу (13), т.е. найдём расстояние от точки одной прямой до другой прямой. Имеем:Отсюдапо формуле (13) получаем:

Задача 23. Найти расстояние между прямыми и

Решение. Обозначим данные прямые иНаправляющий вектор прямойравенПрямаяпараллельна осипоэтому за направляющий вектор этой прямой можно взять векторТак както можно применять формулу (14). В качестве точекэтих прямых возьмёмиПо формуле (14) получаем:

Задача 24. Ребро куба равно Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Решение (см. рис. 16).

Рис.16.

Будем временно считать, что ребро куба равно 1, затем полученную величину умножим на Вычислим расстояние между прямымии(другие диагонали дадут такой же результат). Введём систему координат, как показано на рисунке. Имеем:Направляющие векторыпрямых равны:По формуле (14) получаем:

Следовательно,

Задача 25. Выяснить взаимное расположение плоскостей и

Решение. Нормальные векторы этих плоскостей равны: Вычислим их смешанное произведение:Таким образом, векторыкомпланарны. Так как никакие два из этих векторов не коллинеарны, то возможны следующие варианты взаимного расположения плоскостей (см. рис. 17): (а) плоскости попарно пересекаются по трём параллельным прямым, (б) плоскости проходят через одну прямую.

Рис. 17

Чтобы различить эти две ситуации, решим систему уравнений

Из первого уравнения Подставим во второе:откудаа значит,Подставим в третье уравнение:т.е.что невозможно. Таким образом, система решений не имеет, т.е. плоскости не имеют общей точки, а значит, имеет место случай (а).

Задача 26. Составить уравнение геометрического места точек, равноудалённых от прямых и

Решение. Обозначим данные прямые через иПрямые имеют один и тот же направляющий векторзначит, они параллельны или совпадают. Возьмём по одной точке этих прямых:Так кактои– различные параллельные прямые. Проведём плоскостьчерез прямыеив этой плоскости проведём прямуюпосередине междуиа затем через прямуюпроведём плоскостьперпендикулярную плоскости(см. рис. 18).

Рис. 18

Очевидно, плоскость – это и есть искомое геометрическое место точек, равноудалённых от прямыхиНормальным вектором плоскостиможет служить вектор

Нормальный вектор плоскостиперпендикулярен векторамипоэтому можно взять

В качестве точки плоскости можно взять точку– середину отрезкаИмеем:Подставив в формулу (4), получим:или