Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

§ 1. Уравнения прямой на плоскости

Напомним, что прямая на плоскостиможет быть задана следующими уравнениями (см. рис. 1):

общим:

(1)

Здесь –нормальный вектор прямой (т.е. любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой). и– любые действительные числа, за исключением случая

Рис.1.

Если прямая проходит через точку и имеет нормальный векторто её уравнение может быть записано в виде

(2)

Уравнение (2) равносильно векторному уравнению где

каноническим:

(3)

Здесь –направляющий вектор прямой, т.е. любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой. и– любые действительные числа, за исключением случаяОтметим, что в уравнении (3)формально допускается 0 в знаменателе. Это не означает, конечно, что допустимо деление на 0: формулу (3) следует считать эквивалентом равенства в котором никакого деления на 0 нет. Приведём примеры: уравнениеопределяет прямуюпараллельную осиуравнение осиимеет вид

параметрическим:

(4)

Число называетсяпараметром. Система уравнений (4) равносильна векторному уравнению (см. рис. 2).

Рис.2.

Параметр имеет прозрачныйгеометрический смысл: модуль числа означает, сколько векторов“укладывается” на вектореа знак обозначает расположение точкина прямойприточканаходится с той стороны, куда направлен вектора при– в противоположной стороне.

с угловым коэффициентом (см. рис. 3):

(5)

Рис.3.

Здесь – угловой коэффициент, т.е.где– угол наклона прямойк осиУравнением (5) может быть задана любая прямая, не коллинеарная оси

“в отрезках” (см. рис. 4):

(6)

Рис.4.

Здесь – отрезки, отсекаемые прямойот осей координат. При этом допускается, чтоилиУравнением (6) может быть задана любая прямая, за исключением прямых, коллинеарных какой-либо из осей координат, а также прямых, проходящих через начало координат.

Замечание. Уравнения (1)-(6) задают прямые не только в прямоугольной, но и в произвольной косоугольной системе координат. При этом вектор будет по-прежнему направляющим вектором прямой (т.е. вектором, коллинеарным этой прямой). Однако, векторв уравнениях (1), (2) может уже не быть перпендикулярным данной прямой. “Угловой коэффициент”в уравнении (5) может не равняться тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. Наконец, числаив уравнении (6) в косоугольной системе координат будут не истинными длинами отсекаемых на осях отрезков, аотносительными длинами (если и– базисные векторы, то на осиотрезки следует измерять “в векторах”, а на оси– “в векторах”).

Задача 1. Написать каноническое, параметрическое и общее уравнение прямой, проходящей через точки и

Решение. Направляющим вектором прямой можно считать векторВ качестве точкиможно взятьилиПусть, например,Тогда по формуле (3) получим:

(7)

Это каноническое уравнение прямой Приравняем эти дроби к числуполучим:откуда

Это параметрическое уравнение прямой Из равенства (7) имеем:т.е.

Это общее уравнение прямой

Задача 2. Дана прямая Составить уравнение прямойпроходящей через точкуи параллельной прямойа также прямойпроходящей через точкуи перпендикулярной прямой

Решение. (см. рис. 5)

Рис.5.

Из уравнения прямой находим ее нормальный вектор:Взявзапишем равенство (2):т.е.Это уравнение прямой

Заметим, что вектор является направляющим вектором прямойа значит, можно записать уравнение этой прямой согласно равенству (3). Мы получим:откудаилиЭто уравнение прямой

Задача 3. Найти угол между прямыми и

Решение. Найдём нормальные векторы этих прямых: Уголмежду прямыми равен углу между их нормальными векторами. Следовательно,

Отсюда обычно под углом между прямыми берут острый угол, образованный этими прямыми. Поэтому мы можем считать, что угол равен

Задача 4. Составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно:

а) начала координат; б) оси абсцисс; в) точки

Решение. а) Симметрия относительно начала координат переводит точку в точкуПоэтому уравнение симметричной прямой мы получим, заменяянаинаТаким образом, искомое уравнение будет таково:или

б) Симметрия относительно оси абсцисс задается формулами Отсюда получаем:

в) (см. рис. 6)

Рис.6.

Возьмём какую-нибудь точку прямой например,(для этого достаточно подобрать числаудовлетворяющие уравнению). Пусть– точка, симметричная точкеотносительно точкиТогдаиСледовательно,Отсюда получаем уравнение прямойт.е.

Замечание. Решение задачи 4(в) может быть упрощено, если использовать формулу симметрии плоскости относительно точки (см. раздел «Геометрические преобразования»).

Задача 5. Спроектировать току на прямую

Решение. (см. рис. 7)

Рис.7.

Обозначим через прямую Уравнение этой прямой можно переписать в виде Найдём нормальный вектор прямойЭтот вектор может быть принят в качестве направляющего вектора прямойЗапишем параметрические уравнения прямой

(8)

Теперь найдем координаты точки пересечения прямыхиподставив формулы (8) в уравнение прямойполучим:ОтсюдаПодставим теперь это значениев (8), получим:Таким образом,Точка– это и есть проекция точкина прямую

Задача 6. Составить уравнение высоты медианыи биссектрисытреугольникаесли

Решение. (см. рис. 8).

Рис.8.

Имеем: Векторявляется нормальным вектором прямойт.е.В качестве точкипрямойвозьмём точкуЗапишем теперь уравнение высотыт.е.

Далее, направляющим вектором прямой может служить векторЕсли направляющий вектор умножить на 2, то он по-прежнему останется направляющим вектором. Поэтому возьмёмОтсюда получаем уравнение прямойили

Составим теперь уравнение биссектрисы Найдём длины векторовиВекторыиимеют одинаковую длину, поэтому векторнаправлен по биссектрисе углаа значит, является направляющим вектором прямойВычисляем:Запишем каноническое уравнение прямойотсюда получаем:

Замечание. Если и– векторы, то вектор– вектор, направленный по биссектрисе угла, образованного векторамииа вектор– по биссектрисе смежного угла (см. рис. 9).

Рис.9.

Если тоа

Задача 7. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: и координаты его центра:Составить уравнения двух других сторон и уравнения диагоналей.

Решение (см. рис. 10).

Рис.10.

Обозначим вершины параллелограмма буквами а его центр буквойМожно считать, что даны уравнения сторониНайдём вершинурешив систему

Прибавим к первому уравнению удвоенное второе, получим: откудаДалее,Следовательно,Затем вычисляем:

Отсюда Через точкупроводим прямую, параллельнуюполучаемАналогично получаем уравнениет.е.Теперь найдём точку

Отсюда т.е.

Осталось получить уравнения диагоналей иИмеем:Взявполучим уравнениеа значит,Аналогично получим уравнениеоткуда получаем:т.е.

Задача 8. Даны координаты одной из вершин треугольника: и уравнения двух его медиан:Найти координаты двух других вершин треугольника.

Решение.. Так как точка не удовлетворяет уравнениям данных прямых, то можно считать, что– это вершинаа данные прямые – медианы, выходящие из вершинисоответственно (см. рис. 11).

Рис.11.

Обозначим данные прямые через иВозьмём какую-нибудь точку на прямойПусть– точка, симметричная точкеотносительноТогда

Следовательно, Через точкупроводим прямуют.е.Точкунайдём, пересекая прямыеи

Получаем:

Аналогично находим точку А именно, возьмём точку на прямойПусть– точка, симметричная точкеотносительноТогдаУравнение прямойпараллельнойи проходящей черезТочкунаходим из системы

Отсюда

Задача 9. Через точку провести прямую, пересекающую положительные части осей координат и образующую с осями координат треугольник наименьшей площади.

Решение (см. рис. 12).

Рис.12.

Пусть – искомая прямая и– отрезки, отсекаемые прямойот осей координат. ТогдаЗапишем уравнение прямой“в отрезках” (см. формулу (6)):Так кактоОтсюдаНайдём площадь треугольникаНайдём наименьшее значение функциина множествеДля этого вычислим производную:Очевидно,приСоставим таблицу:

		2
	–	0
		4

Из таблицы видно, что функция имеет в точкеминимум, равныйПриполучаем:а значит, уравнение прямойтаково:или