1. Математические методы физики / Лекции по методам математической физики. Ч

2.(x1, t1) γ. Wt > 0, тогда тем более Wt − Wxx > 0. Снова приходим к проти-

воречию.

Теперь, аналогично случаю эллиптических операторов, заменяя u → −u, вы-

водим принцип минимума. Из этих принципов следует, что решение однородного уравнения с нулевыми начальными и граничными условиями (на Π) тож-

дественно равно нулю.

Замечание 13.1. Доказательство обобщается на случай нескольких пространственных переменных, если (b − a) во вспомогательной функции заменить на диаметр d области D. Гиперповерхность Π, на которой ставятся условия стано-

вится объединением начальной гиперповерхности и «боковых»границ области Ω: Π = D ∂D×R+. Получается n-мерный цилиндр, к которому добавлено «дно».

Связь функций Грина первого и второго рода

Неоднородную краевую задачу для уравнения теплопроводности можно разбить на две полуоднородные. Для простоты будем рассматривать произвольные x Rn, то есть искать решение в области Ω = Rn × R+, а начальное условие ставить в D = Rn. Тогда полная неоднородная задача

ut = 4u + f (x, t), u(x, 0) = g(x)

разбивается на две

Сумма их решений u = v+w есть решение исходной неоднородной задачи. Функ-

ция Грина первого рода, которая дает решение задачи (13.2), удовлетворяет дифференциальному уравнению

Решение задачи (13.2) дается интегралом по области Ω

Z

v(x, t) = G(x, t, x0, t0)f (x0, t0) dx0 dt0, (13.5)

Ω

где интегрирование по всем переменным ведется в бесконечных пределах. Решение второй полуоднородной задачи (13.3) — задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности — дается интегралом по начальной гиперповерх-

ности D = Rn

Z

w(x, t) = GS (x, x0, t)g(x0) dx0. (13.6)

D

Можно вывести связь функций Грина первого и второго рода. Для этого перенесем начальное условие задачи (13.3) в правую часть

wt = 4w + g(x)δ(t), w = 0, t < 0.

Тогда вторую полуоднородную задачу можно свести к первой, если приравнять ее решение, полученное по формуле (13.5), к интегралу (13.6):

Z Z

w(x, t) = G(x, t, x0, t0)g(x0)δ(t0) dx0 dt0 = GS (x, x0, t)g(x0) dx0.

Ω D

Мы получаем функцию Грина второго рода

GS (x, x0, t) = G(x, t, x0, 0).

Функция GS получается из функции Грина первого рода приравниванием к нулю переменной t0.

Формула Пуассона

Коэффициенты уравнения (13.4) не зависят от x, t, поэтому решение может зависеть только от разностей x − x0, t − t0. Уравнение можно немного упростить, ограничившись сначала случаем x0 = t0 = 0. Получится

∂G

∂t

− 4G = δ(x)δ(t).

По той же причине, т.е. благодаря постоянным коэффициентам (а значит и трансляционной инвариантности), уравнение упрощается с помощью преобразования Фурье

Здесь x = (x1, . . . , xn) и k = (k1, . . . , kn) — n-мерные векторы, а kx = k1x1 + · · ·+ knxn

— скалярное произведение. Преобразование Фурье переводит дифференциальные операторы в умножение

и тем самым диагонализует уравнение, т.е. превращает в алгебраическое, которое решается сразу

(dx, 0) и интегрировать надо только первое слагаемое. Вдоль ребер трапеции dx = ±dt и интеграл второго рода по ds сводится к интегралу первого рода по dt. Учитывая направление интегрирования, указанное стрелками, получим

Поскольку интегралы неотрицательно определены, получается неравенство E > E0. Значит, если E = 0, то и E0 = 0. Мы показали, что уравнение с нулевым начальным условием имеет нулевое решение в трапеции Ω. Верхнее основание можно двигать вверх вплоть до C, точки пересечения характеристик. Значит

решение неоднородной задачи единственно в характеристическом треугольнике ABC. Если начальное условие поставлено на всей оси, решение единственно в полуплоскости t > 0. Заметим, что единственность мы доказали для функций vt, vx, а само решение волнового уравнения u(x, t) определено с точностью до кон-

станты.

Связь функций Грина первого и второго рода

Вторая полуоднородная задача для волнового уравнения, задача Коши, содержит два начальных условия

Поэтому и функция Грина второго рода получается двухкомпонентная. Решение дается суммой двух интегралов по начальной поверхности D = Rn:

Z

u(r, t) = G(1)S (r, r0, t)g(r0) + G(2)S (r, r0, t)h(r0) dr0. (13.10)

Выведем формулу Грина для волнового уравнения, которая поможет нам установить связь между функциями Грина первого и второго рода. Возьмем решение

u задачи (13.9) и функцию Грина первого рода, которая является решением за-

дачи

Второй интеграл по объему от дивергенции преобразуется в поток через бесконечно удаленную поверхность

I

(urG − Gru)dS,

поэтому равен нулю. Первый интеграл по t дает 0 на верхнем пределе, если решение убывает при t → ∞. Остается значение на нижнем пределе

Z

u(r0, t0) = − dr(uGt − Gut)t=0.

Сравнивая с общим выражением (13.9), найдем компоненты функции Грина второго рода

Осталось найти функцию Грина первого рода, убывающую на бесконечности, которая является решением первой полуоднородной задачи (13.11).

Запаздывающая функция Грина

Ограничимся случаем n = 3 пространственных переменных, когда D = R3 и положим r0 = 0, t0 = 0. Для поиска убывающего на бесконечности решения

можно выполнить преобразование Фурье (13.7) и получить

1

Gk,ω = −ω2 + k2 .

Обратное преобразование Фурье по ω выражается интегралом

Рис. 14.1: Собственные функции оператора ˆ из примера 14.2, удовлетворя-

ψn A

ющие нулевым граничным условиям на концах отрезка [0, π]: n = 1, 2, 3, 4. Номер моды равен количеству нулей на [0, π). Справа показаны собственные значения

— уровни энергии в прямоугольной яме с бесконечными стенками.

Если область определения оператора некомпактна, то наряду с функциями дискретного спектра, появляются функции непрерывного спектра.

Пример 14.3. Попробуем найти собственные функции оператора

принадлежащие L2(−∞, ∞). Это значит, что функции должны достаточно быст-

ро убывать на бесконечности, чтобы интеграл от квадрата модуля функции сходился. Можно проверить, что ψk = eikx удовлетворяет уравнению для собственных функций с собственным значением k R. Однако такая функция не лежит в L2, интеграл от квадрата ее модуля расходится.

Среди функций пространства L2 решений нашей спектральной задачи нет, но решения имеются среди функций, близких к ψk. Если умножить на весовую функцию w(k) L2 и проинтегрировать:

Z

Ψ(x) = w(k)ψk(x) dk,

σc

где σc = R, то интеграл уже лежит в нужном пространстве Ψ L2.

Если выбрать весовую функцию (волновой пакет ширины k = ), локализованную вблизи некоторого k = k0, то функция Ψ близка к функции ψk в сколь угодно большой области пространства x 1/ → ∞, → 0, но уже интегриру-

ема вместе с квадратом. Такие собственные значения мы назовем непрерывным спектром, а множество таких значений будем обозначать σc. В данном примере σc = R. Сами функции будем называть собственными функциями непрерывного

спектра. Выберем, например,

/π

w(k) = (k − k0)2 + 2 .