12) Общая схема решения однородного ду 1-го порядка вида: , где функции m(X,y) и n(X,y) являются однородными одного порядка

Однородные уравнения 1-порядка вида: . (4)

1). Если в записи (4) функции иоднородные одного порядка, то его легко преобразовать к виду (1).

2). Как всегда, сначала попробуем выделить решения уравнения, используя (4). Если при значении случится, то прямаяесть решение уравнения. Если при значениислучится, то прямаяесть решение уравнения.

3). Теперь, принимая и, уравнение (4) запишем в форме (1):. Далее по общему алгоритму!.

13)Приведение уравнения вида: к однородному уравнению

Заданное ДУ – специального вида: с учётом его нетрудно преобразовать к виду:

=. (2)

3). Уравнение вида (2) достаточно просто приводится к однородному уравнению, которое мы уже умеем решать! Так как прямые :и:пересекаются, то для перехода к однородному уравнению используют преобразование параллельного переноса начала координат исходной системыв точку пересечения этих прямых:,. Для нахождения величинрешим систему уравнений:Нетрудно получить значения:.

4). Применяя преобразование: ,, перепишем дифференциальное уравнение (2):– однородное уравнение. (3)

5). Примем и запишем выражение:. Исследуем равенство:, в нашем случае. Получаем два решения:и, илии, илии.

6). Пусть теперь . Вычислим интеграл:==. Применяя правила интегрирования дробно-рациональных выражений, запишем:

==. (4)

8). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, а также,перепишем общее решение использованием функции, используемой в исходном уравнении:.

Ответ: – общее решение ДУ, такжеи(которое выделяется из общего при значении).

14)Приведение уравнения вида: к уравнению с разделяющимися переменными

• Решить дифференциальное уравнение: . (1)

• Решение:

• 1). Преобразуем заданное уравнение к виду: =. Известно, что такое уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными!

• 2). Примем и вычислим производную, то есть. В нашем случае получаем, что есть уравнение с разделяющимися переменными!

• 3). Уравнение имеет решение в виде функции:. Учитывая обозначение, запишем решение– прямая линия.

• Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

• 4). Пусть теперь . Запишем уравнениев виде:, или (для удобства!) в виде:. (2)

• 5). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

• Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении=0; запишем общее решение и в виде, из которого решениеполучается из общего при значении=0.

Особые точки - точки, в которых нарушается хотя бы одно из требований теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения вида для заданных начальных условий:.