Лабораторная работа № 19 основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси

Цель работы:

Изучение динамики вращательного движения твердого тела. Исследование зависимости угла поворота твердого тела от времени, экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции твердого тела как коэффициента пропорциональности в основном уравнении.

Оборудование:

Установка, включающая исследуемый диск с закрепленными на нем шкивами, грузы известной массы, датчик угла поворота (световой барьер), электронный блок управления Cobra3, турбокомпрессор, компьютер.

Продолжительность работы– 4 часа.

Теоретическая часть

1. Рассмотрим диск, который может вращаться вокруг неподвижной оси Z. Положение диска определяется углом, который составляет радиальная прямая, связанная с диском (например, нарисованная на диске), с осьюX, неподвижной относительно лабораторной системы отсчета (рис. 1).

Рис. 1. Положение диска характеризуется угловой координатой

Вращение диска характеризуется угловой скоростью , и угловым ускорением. Аналогичным образом можно ввести угловую координату, угловую скорость и угловое ускорение для произвольного твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

2. Угловое ускорение диска зависит не только от величины и направления действующей на него силы, но и от положения точки, к которой эта сила приложена. «Вращательное действие» силы характеризуется моментом силы относительно оси, который равен произведению модуля силына плечо силы- так называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения:(рис. 2, заметим, что, где- вектор момента силы относительно точкиО, лежащей на оси вращения, а векторпроведен отОк точке приложения силы).

Рис. 2. Момент силы относительно оси

3. Из законов Ньютона следует, что угловое ускорение пропорционально моменту силы:. Эту пропорциональность можно выразить уравнением

, (1)

где - момент инерции твердого тела (диска) относительно оси вращения. Уравнение (1) называется основным уравнением динамики вращательного движения, оно справедливо не только для диска, но и для тела произвольной формы, вращающегося вокруг неподвижной оси.

4. Момент инерцииопределяет инерционные свойства твердого тела при вращении и зависит от распределения массы в объеме этого тела. По определению момент инерции тела относительно оси равен

, (2)

где - элементарная («точечная») масса, на которые мысленно разбивается тело,- расстояние от этой массы до оси вращения (рис.3).

Рис.3. К определению момента инерции	Рис. 4. Момент инерции кольца	Рис. 5. Момент инерции цилиндра

Если твердое тело представляет собой тонкое кольцо радиуса Rи массыm, то момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр равен (рис. 4).

.

При вычислении момента инерции однородного цилиндра (или диска) относительно оси, совпадающей с его осью симметрии, следует учесть, что величины в выражениине равны радиусу дискаR, а изменяются для разных элементарных массот 0 доR. После вычисления этой суммы (интегрирования) получим для момента инерции цилиндра, где- масса цилиндра.

5. В данной лабораторной работе момент инерции твердого тела определяется экспериментально. Полученное значениеIсравнивается с рассчитанным по формуле. Твердое тело представляет собой алюминиевый диск, на котором закреплены три шкива, предназначенные для наматывания нити. Диск соединен через блок легкой нитью с грузом массыm, который, опускаясь под действием силы тяжести, приводит диск во вращение. Схема установки изображена на рис. 6.

Диск вращается под действием момента силы натяжения нити , равного, где– радиус шкива.

Рис. 6. Схема экспериментальной установки

Если пренебречь массой нити, массой блока и трением в его оси, то , гдеFиT- силы натяжения нити, действующие соответственно на шкив и груз. Пренебрегая также трением в оси диска, запишем уравнение (1) в виде:

, (3)

где I– момент диска с закрепленными на нем шкивами.

Воспользуемся также вторым законом Ньютона для поступательного движения груза:

. (4)

Если нить нерастяжима, то ускорение поступательного движения груза a и угловое ускорение дискасвязаны соотношением:

. (5)

Исключая величины Tиa из системы уравнений (3) - (5), получим:

. (6)

При из формулы (6) следует:

(7)

Из этой формулы следует, что угловое ускорение пропорционально массе груза. Формула (7) и проверяется в данной лабораторной работе экспериментально:

• при разных массах mизмеряется угловое ускорение,

• строится график зависимости от,

• проверяется линейность этого графика,

• по угловому коэффициенту определяется момент инерции диска I,

• полученное значение Iсравнивается с рассчитанным по формуле.

6. Чтобы определить угловое ускорение для каждого значенияmизмеряется зависимость угла поворота дискаот времени. При вращении диска с постоянным угловым ускорением из уравненияследует, где- угловая скорость при. А из уравненияследует. Считая, что придиск не вращался и угол, получим

.

Согласно этому уравнению график зависимости отдолжен быть линейным с угловым коэффициентом. По угловому коэффициенту определяется угловое ускорениедиска при каждом значении.