§ 6. Бином Ньютона.

Этот параграф интересен не только том, что мы сможем увидеть ещё одно симпатичное применение результатов комбинаторики. Мы исправим несправедливость забвения бинома Ньютонав школах России!

Бином Ньютона – это формула: , которую достаточно просто получить, если воспользоваться свойствами сочетаний и методом математической индукции! Интересно получить подтверждение формулы Ньютона путём нестрогих размышлений, а уже потом доказать её формально, алгебраически!

Нестрогое доказательство:

1) Запишем . Раскрывая скобки, получим слагаемые вида:. Так как из каждой скобки берём либоa, либоb, а число скобокn, то должно быть:m+k=n. Значит, все слагаемые имеют вид:.

2) При фиксированном значении kслагаемых вида:столько, сколько сочетаний изnпоk, то есть, причём,k=0,1,...,n.

Формальное (алгебраическое) доказательство:

1) Воспользуемся методом математической индукции. Учтём известные всем формулы:

здесь n=2 =;

здесь n=3;

2) Видим, при nутверждение (формула)верно. Проверим утверждениепри значении (n+1):

,

или, раскрывая скобки и приводя подобные:

,

или, учитывая свойства сочетаний:

→верно.

3). Формула верна для любого n.

☺☺

Пример 1–19: Получить общую формулу для разложения: .

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: , заменяя значение b на –b.

2). В результате имеем: .

Ответ: .

Пример 1–20: Найти коэффициент при x³ в разложении .

Решение:

1). Воспользуемся разложением: и выделим слагаемое, содержащее x³: .

2). Вычислим нужный коэффициент (учитывая свойство сочетаний):

===7680.

Ответ: 7680.

Пример 1–21: Найти коэффициент при x¹¹ в разложении .

Решение:

1). Запишем общий член разложения: .

2). Используя исходные данные примера, запишем равенство: , откуда: при k=6.

3). Воспользуемся общим членом разложения для k=6 и вычислим: .

Ответ: 2268.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое числовое кольцо, числовое поле?

2. Может ли числовая система не содержать число ноль?

3. Что такое матрица?

4. Почему делить на ноль нельзя?

5. Что такое единичная матрица?

6. Что такое нулевая матрица?

7. Что такое главная диагональ матрицы?

8. Что такое комбинаторика?

9. Что такое размещения, перестановки (привести примеры)?

10. Что такое сочетания (привести примеры)?

11. Что такое бином Ньютона?

12. Как записывают общий член формулы для бинома Ньютона?