Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Олейник PDF / Р_3_10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

488.6 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

§ 3.10. Задача о максимальном потоке в сети

Сеть. Поток в сети. Величина потока. Максимальный поток. Дополняющая цепь. Разрез в сети. Минимальный разрез. Алгоритм Форда - Фалкерсона.

Базовые понятия и утверждения

В этом параграфе будут рассматриваться сети G V ,U , ,

имеющие единственную вершину s с нулевой полустепенью захода и единственную вершину t с нулевой полустепенью исхода. Вершину s

будем называть источником, а вершину t - стоком, вес u дуги u -

пропускной способностью дуги u .

Для удобства изложения введем следующие обозначения. Через v обозначим множество дуг, для которых вершина v является началом, а через v обозначим множество дуг, для которых вершина

v является концом.
Определение. Потоком в сети G V ,U ,			называется функция
f :U 0, , удовлетворяющая условиям:
1) u U f u u ;
2) f v f v		для всех вершин v ,	v s ,	v t , где
f v f u и f v f u .
u v		u v
Значение	f v можно интерпретировать как поток, втекающий
в вершину v ,	а значение	f v - как поток, вытекающий из вершины

v . Тогда второе условие можно переформулировать так: поток, втекающий в любую вершину, за исключением источника и стока, должен быть равен потоку, вытекающему из этой вершины.

Условие 1) называется условием ограничения по пропускной способности, а условие 2) - условием сохранения потока в вершинах.

191

7,3

4,2

Пр и м ер

1 .

На

рис. 3.83 дан

пример сети и потока

в ней.

6,6

3,3

8,1

7,1

5,5

12,7

Около каждой

дуги u указаны

2,1

через

запятую

ее

пропускная

5,2

6,1

(u)

способность

и текущий по ней

Рис. 3.83.

поток

f u .

Определение.

Положим

f s .

Число

называется

величиной потока.

Определение.

Поток

называется максимальным, если для

любого потока f справедливо неравенство f f * .

Задача о максимальном потоке формулируется следующим образом: в заданной сети G найти поток максимальной величины.

Задача о максимальном потоке имеет особенность, отличающую ее от рассмотренных нами ранее задач дискретной оптимизации. В предшествующих задачах искомый объект существовал очевидным образом и в принципе мог быть найден полным перебором. Например, можно было перебрать все остовы и выбрать среди них минимальный или перебрать все пути между заданными вершинами и выбрать среди них кратчайший. В задаче о максимальном потоке полный перебор принципиально невозможен и существование максимального потока не является очевидным. Однако можно доказать, что в каждой сети существует максимальный поток (доказательство этого утверждения опустим).

При решении задачи об отыскании максимального потока в сети приходится рассматривать неориентированные простые цепи, т.е. такие последовательности попарно различных вершин и дуг

v0u1v1...vk 1uk vk , в которой любые два соседних элемента инцидентны.

Поскольку цепи других видов нас при этом интересовать не будут, то далее в этом параграфе неориентированные простые цепи будем называть просто цепями.

Если в цепи v0u1v1...vk 1uk vk дуга ui выходит из вершины vi 1 и заходит в вершину vi , то она называется прямой дугой цепи. Если же

192

дуга ui выходит из вершины vi и заходит в вершину vi 1 , то она называется обратной дугой цепи.

Пусть	f - поток в сети	G и P - цепь из v в w . Для каждой
дуги u цепи	P будем вычислять остаточную пропускную способность
h(u) при данном потоке f		по следующему правилу: если дуга	u
прямая, то	h(u) (u) f (u) , а если обратная, то h(u) f (u) .		В

свою очередь остаточную пропускную способность h(P) цепи P при

данном потоке		f	будем определять по формуле h P min h u .
									u P
	Определение. Цепь P из v в w называется дополняющей для f ,
если h P 0 .
	Пр и м ер 2 .		В сети, изображенной на рис. 3.83, цепь, включающая
последовательно			вершины				s, b, c, q, t ,	является дополняющей для
потока, рассмотренного в примере 1.
	Одним из алгоритмов, позволяющих построить максимальный
поток, является алгоритм Форда - Фалкерсона.
	Алгоритм Форда -					Фалкерсона. 0 - й			ша г . Пускаем по сети
нулевой поток		f0 , т.е. полагаем f0 u 0						для всех дуг u U .
	k - й ша г .	Пусть к началу шага в сети течет поток fk 1 . Для этого
потока fk 1 ищем дополняющую цепь из s в t .
	Если такой цепи нет, то fk 1 - искомый максимальный поток.
	В противном случае, если для потока							fk 1 дополняющая цепь из s
в t	имеется, даем ей имя					Pk	и определяем на множестве U функцию
fk	по следующему правилу:
		f		k 1	(u) h(P ), если u P , u - прямая дуга,
							k	k
	fk (u) fk 1(u) h(Pk ), если u Pk , u - обратная дуга,
		f		k 1	(u),	если u P .
							k
	Построенная			таким		образом функция			fk является потоком, и

величина этого потока определяется равенством fk fk 1 h(Pk ) .

193

Замечание. Возникает существенный вопрос: закончится ли работа алгоритма за конечное число шагов? Оказывается, хотя в подавляющем большинстве случаев алгоритм заканчивает свою работу за конечное число шагов, зацикливание возможно. Гарантировать построение максимального потока можно в том случае, если на каждом шаге производить увеличение потока вдоль кратчайших по числу дуг дополняющих цепей.

Доказательство алгоритма Форда - Фалкерсона приведено во второй части параграфа.

Пр и м ер 3 . Построим максимальный поток для сети, изображенной на рис. 3.84,а.

◄ Ш а г 0 . Для любой дуги u положим f0 u 0 (на рисунке этот поток отмечать не будем, более того, договоримся и далее нулевой

поток на дугах не отмечать),				f0	0 .
поток на дугах не отмечать),				f0	0 .
Ш а г 1 . P : s a d t						- дополняющая цепь для потока f	0
1	6	7	4				0
	6	7	4

(стрелки заменяют имена дуг, под каждой стрелкой записана остаточная

пропускная

способность

h(u)

соответствующей

дуги

u ),

h P

min h(u) 4 ,

поток

указан

на

рис.

3.84,б,

u P

h P

4 .

Ш а г 2 . P2 :

s a b q t

- дополняющая цепь для потока

f1 ,

h P2 2 , поток f2

указан на рис. 3.84,в,

h P2 6 .

Ш а г 3 . P :

s b q t - дополняющая цепь для потока

h P

3 , поток

указан на рис. 3.84,г,

h P 9 .

Ш а г 4 .

P4 :

s c q t

- дополняющая цепь для потока

f3 ,

h P4 5 , поток

указан на рис. 3.84,д,

h P4 14 .

Ш а г

5 . P :

s b a d q t

дополняющая цепь

для

потока

h P

2 ,

поток

указан

на

рис.

3.84,е,

h P

16 .

194

	a	7		d					a		7,4	d
					4								4,4
6		3		8		t	6,4			3		8		t
	7	3	5	8		t		7		3	5	8		t
s	7		5		12		s	7			5		12
s		b		q			s			b		q

	2								2
5		6					5				6
	c								c
			а								б
	a	7,4		d					a		7,4	d
					4,4								4,4
6,6		3,2		8		t	6,6			3,2		8		t
	7		5,2			t		7,3			5,5			t
s	7		5,2		12,2		s	7,3			5,5		12,5
s		b		q	12,2		s			b		q	12,5
	2	b		q					2	b		q
5		6					5				6
	c								c
			в								г
	a	7,4		d					a		7,6	d
					4,4								4,4
6,6		3,2		8		t	6,6			3,0		8,2		t
	7,3		5,5			t			7,5		5,5			t
s	7,3		5,5				s		7,5		5,5		12,12
s		b		q	12,10		s			b		q	12,12
					12,10
	2								2
5,5		6,5					5,5				6,5
		6,5									6,5
	c								c
			д								е
						Рис. 3.84.
Для потока			f5	нет	ни	одной	дополняющей					цепи	из	s	в	t .
Следовательно, поток				f5 является максимальным. ►
Определение.			Разрезом			Vs ,Vt		в	сети		G	называется			пара
множеств Vs и Vt , удовлетворяющих условиям:
1) s Vs , t Vt ;
2) Vs Vt		V ;
3) Vs	Vt	.
																195

Через Vs Vt обозначим множество всех дуг, начала которых лежат в Vs , а концы - в Vt , а через Vt Vs - множество всех дуг, начала которых лежат в Vt , а концы - в Vs .

Определение.		Положим Vs Vt			(u) .		Число
					u Vs Vt
Vs Vt называется пропускной способностью разреза Vs ,Vt .
Определение.		Разрез	Vs ,Vt	называется минимальным, если
для	любого	разреза	Vs ,Vt	справедливо		неравенство
Vs * Vt * Vs Vt .
Во	второй части параграфа будет доказано,					что	величина

максимального потока в произвольной сети равна пропускной способности минимального разреза.

Если для сети найден максимальный поток, то минимальный разрез можно найти следующим образом: включить в множество Vs

вершину s	и все вершины v V , для каждой из которых существует
цепь P из	s	в v	с остаточной пропускной способностью h P 0 ;
положить	Vt	V \ Vs . Полученный таким		образом разрез Vs ,Vt
будет минимальным.
Пр и м ер		4 .	Вернемся к примеру	3. Используя найденный

максимальный поток, несложно определить, что единственной вершиной, в которую можно добраться по цепи с положительной остаточной пропускной способностью, является вершина b .

Следовательно, пара множеств Vs s, b и Vt		a, c, d, q, t образует
минимальный разрез.
Упр а жн е н ие 3 . 3 7 .	Найти максимальный поток и минимальный
разрез для сети, изображенной:
а) на рис. 3.85;	б) на рис. 3.86.

		a	3	q	4		t
	8	3	2	2
	6		2	2		9
s	6		3			9	7
s		4 b	3				7
	5	4 b	5		4
	5						r
		c		3			r

	a		4	q
	6	4				10
	6	4	6	5
s	7	c	6			7	t


	3		3	4	r
	3		3	4	r
	12					9
						9
	b		5	p

196

Рис. 3.85.

Рис. 3.86.

Теоретические обоснования

Перейдем к обоснованию алгоритма Форда - Фалкерсона. Для

произвольных разреза

Vs ,Vt

потока

введем

две числовые

характеристики:

f (u) - величина потока из Vs

f Vs Vt

в Vt ,

u Vs Vt

f Vt Vs

f (u) - величина потока из Vt

в Vs .

u Vt Vs

Пр и м ер 5 . Для потока

текущего по сети в примере 1, и

разреза Vs ,Vt ,

где

s, a, c

Vt b, d, q, t ,

имеем

f Vs Vt 9 , f Vt Vs 0 .

Лемма 1. Для

любого потока

любого разреза

Vs ,Vt

справедливо равенство

f Vs

Vt f Vt Vs .

Доказательство. Согласно условию сохранения потока в

вершинах, для произвольной вершины v Vs

\ s имеем:

f v f v

или

f v f v 0 .

Следовательно,

f v f v 0 .

Сложив это

v Vs \ s

равенство почленно с равенством

, получим:

f v f v

v Vs

v Vs u v

197

f u

u: u a,b ,

u: u a,b

a Vs

b Vs

f u

u: u a,b ,

a Vs , b Vs

Первое и третье слагаемые последнего равенства взаимно

уничтожаются, следовательно,

f u

u: u a,b ,

a Vs , b Vs

f Vs Vt f Vt Vs

.■

Следствие 1.

f t .

Доказательство.

Пусть

Vt t ,

V \ t .

Тогда

f Vs Vt f t ,

f Vt Vs

и равенство из леммы 1

запишется следующим образом:

t .■

Следствие 2.

Для любого потока

и любого разреза

Vs ,Vt

справедливо неравенство f Vs Vt .

Доказательство. Из условия ограничения по пропускной

способности

f (u)

(u) , т.е.

f Vs Vt Vs Vt .

u Vs Vt

Тогда с учетом равенства из леммы 1 имеем:

f Vs Vt f Vt Vs f Vs Vt Vs Vt . ■

Лемма 2. Если для некоторого потока f

и некоторого разреза

Vs ,Vt выполняется равенство

Vt , то поток

максимален, а разрез

Vs ,Vt минимален.

Доказательство. Пусть f * - максимальный поток, а Vs *,Vt

* -

минимальный разрез. Тогда справедлива следующая цепочка неравенств:

198

сл. 2 леммы 1

f *

Vs * Vt * Vs Vt .

Поскольку крайние члены в этой цепочке неравенств совпадают, то

она превращается в цепочку равенств, а это означает, что поток

максимален, а разрез Vs ,Vt минимален. ■

Лемма 3.

Пусть f

поток в сети G и

P является для

дополняющей цепью из s

в t . Тогда в сети G существует поток

такой, что

h(P) .

Доказательство. Определим в сети G функцию f :U R по

формуле

f u h(P),

если u P,

u - прямая дуга,

если u P,

u - обратная дуга,

f (u) f u h(P),

f u ,

если u P.

Докажем, что функция

f является потоком.

Вначале

покажем,

что

функция

принимает только

неотрицательные значения и удовлетворяет условию 1) определения потока.

Пусть u - прямая дуга цепи P . Тогда

0 f (u) f (u) h(P) f (u) h(u) f (u) (u) f (u) (u) .

Пусть u - обратная дуга цепи P . Тогда

f (u) f (u) h(P) f (u) h(u) f (u) f (u) 0 и f (u) f (u) h(P) f (u) (u) .

Таким	образом,	для любой дуги	u цепи	P	выполнено
0 f (u) (u) . Если		u P , то 0 f (u) f (u) (u) .
Теперь	убедимся	в выполнении для	функции	f	условия 2)

определения потока. Понятно, что это условие следует проверить лишь для вершин v , входящих в цепь P . Пусть u1 - дуга, по которой

пришли в вершину v , а u2 - дуга, по которой ушли из v . Каждая из

199

этих дуг может быть как прямой, так и обратной в цепи										P .
Следовательно, возможны четыре различных случая.
		1. Пусть обе дуги u1			и u2 - прямые. В этом случае
		f (u1 ) f (u1 ) h(P) и f (u2 ) f (u2 ) h(P) ,
так что
		f (v ) f (v ) h(P) и f (v ) f (v ) h(P) .
		Но для	потока		f	выполнено условие			f (v ) f (v ) ,
следовательно, и для потока						f имеем	f (v ) f (v ) .
		2. Пусть дуга u1 - прямая и u2 - обратная,						т.е. обе дуги входят в
вершину v . В этом случае
		f (u1 ) f (u1 ) h(P) и f (u2 ) f (u2 ) h(P) ,
так что
		f (v ) f (v ) h(P) h(P) f (v ) и f (v ) f (v ) .
		Так как для потока			f	выполнено условие		f (v ) f (v ) , то и
для потока f			имеем f (v ) f (v ) .
		Аналогично рассматриваются случай 3 (обе дуги u1 и u2								-
обратные) и случай 4 (дуга u1 - обратная и u2 - прямая).
		Таким образом, мы показали, что функция f						- поток в цепи P .
		Определим		теперь	величину		потока	f .	Напомним,	что
	f	f (s ) .	Из	вершины		s дуги	только	выходят, поэтому		та
	f	f (s ) .	Из	вершины		s дуги	только	выходят, поэтому		та