Лекции Олейник PDF / Р_3_10

2) для f

не существует дополняющей цепи из s

в t ;

3) существует разрез Vs ,Vt , для которого

f

Vs Vt .

Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме:

1 2 3 1.

1 2 . Будем рассуждать от противного. Предположим, что для

максимального потока

f

найдется дополняющая цепь

P из s в

t .

Тогда по лемме 3 существует поток f

такой, что

f

f

h(P) , т.е.

f

f

. Полученное неравенство противоречит тому,

что поток

f

максимален.

2 3. Определим

Vs как множество всех вершин

v V , для

каждой из которых существует цепь

P из s в v

такая,

что h P 0 .

Добавим в Vs

вершину

s

и положим Vt V \ Vs . Докажем, что для

полученного разреза Vs ,Vt выполняется равенство

f

Vs Vt .

Вначале покажем,

что для любой дуги u Vs

Vt

выполнено

равенство

f (u) (u) .

Будем

рассуждать

от

противного.

Предположим, найдется дуга u Vs

Vt , для которой

f (u) (u) .

(здесь учтено,

что u -

прямая дуга в цепи Q

и, значит,

h u u f u ). Но выполнение неравенства

h Q 0 означает,

что вершина

w Vs . Пришли к противоречию. Таким образом,

предположение

было неверным и для любой

дуги

u Vs Vt

выполнено

равенство

f (u) (u) .

Следовательно,

Аналогично показывается, что для всех дуг

u Vt Vs имеет

место равенство f u 0 и, следовательно,

f Vt Vs 0 .