Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лабораторная работа метод Куммера

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

78.33 Кб

Скачать

☆

Лабораторная работа №3.

Тема: Ряды

Для выполнения работы необходимо усвоить теоретический материал:

1. Что называется сумой сходящегося числового ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное начальных членов ряда?

3. Предел общего члена ряда равен нулю, можно утверждать, что ряд сходится?

4. Изучите теорему сравнения рядов;

5. В чем суть метода Даламбера сходимости ряда;

6. Какие числовые знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и, какие условно сходящимися? Приведите примеры;

7. В чем состоит признак Лейбница сходимости рядов?

8. Понятие степенного ряда. Рассмотрите степенные ряды, имеющие нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости;

9. Для каких значений х справедливы разложения в ряд функций:

а) у = ℮^х;

б) у = Sinx;

в) ln(1+x)?

Цель работы: Исследование рядов на сходимость. Вычисления суммы ряда

I. Вводные замечания

Рассмотрим числовой ряд . Необходимо установить сходимость ряда, если ряд сходится, то вычислить сумму с некоторой точностью .

Исследование числового ряда целесообразно начинать с проверки необходимого условия сходимости ряда, именно с проверки условия , где а_n – общий член ряда. Если условие не выполнено, т.е. либо предел не существует, либо он бесконечен, либо конечен, но равен 0, то ряд расходится. Если же для ряда , то вопрос о сходимости остается открытым, и требуются дополнительные исследования на сходимость.

Продемонстрируем это на примерах.

З а д а ч а 1. Исследовать на сходимость ряд .

Р е ш е н и е. Проверим необходимое условие, (этот придел не существует), а . Необходимое условие не выполнено. Следовательно, данный ряд расходится.

Теперь покажем применение основных достаточных признаков сходимости рядов (признак сравнения, признак Даламбера,признак Коши, интегральный признак).

З а д а ч а 2. Исследовать на сходимость ряд .

Р е ш е н и е. Проверим необходимое условие, общий член ряда , тогда следовательно оно выполнено. Для доказательства сходимости применим достаточный признак сравнения рядов. Рассмотрим ряд с общим членом и исследуем его на сходимость: а) Так как , то необходимое условие выполнено.

Для проверки сходимости ряда применим интегральный признак сходимости рядов. Здесь тогда , а так как производная для всех х  2,), то убывает на 2,). Все условия интегрального признака выполнены. Тогда для доказательства нужно вычислить интеграл. Интеграл расходится, но тогда и ряд тоже расходится. Теперь применим предельный признак сравнения рядов . Видим, что предел конечен и отличен от нуля, а так как ряд расходится, то и ряд будет расходящимся.

Достаточные признаки Коши и Даламбера проиллюстрируем при исследовании степенных рядов. Ели проанализировать доказательство признака Даламбера, то можно заметить, что для ряда с положительными членами существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, а при l > 1 общий член ряда не стремится к нулю и, следовательно, ряд расходится. Аналогичным образом можно сформулировать признак Коши.

З а д а ч а 3. Найти область сходимости степенного ряда .

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера к данному ряду:

; рассмотрим предел отношения

Тогда ряд будет сходящимся, если будет сходится ряд , но это возможно, в силу признака Даламбера, если т.е., если или -8 < x < 10.

А при x < -8 и x >10 ряды и будут расходящимися т.к. для всех значений х (-; -8)  (10; ) общий член ряда u_n не стремится к нулю.

Напомним, что из расходимости ряда , вообще говоря, не следует расходимость ряда (см. пример, где ).

Поэтому необходимо исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости т.е. при х = -8 ряд в силу признака Лейбница будет сходящимся, а при х = 10 получим ряд гармонический, который расходится. Итак, областью сходимости степенного ряда является промежуток [-8; 10).

З а д а ч а 4. Найти область сходимости степенного ряда .

Р е ш е н и е. Для исследования ряда применим признак сходимости Коши к ряду , полагая . Тогда ;

Далее рассуждения аналогичны задачи 3. Получим, что ряд сходится на отрезке [-3; -1]. В этом примере вопрос о сходимости ряда на концах интервала решен без дополнительного исследования.

Теория рядов часто применяется для приближенных вычислений значений функций и определенных интегралов. При этом следует обратить особое внимание на то, как оценить погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то допускаемая погрешность не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов ряда.

З а д а ч а 5. Вычислить с точностью 0,001.

Р е ш е н и е. Представим .

Теперь воспользуемся разложением

Положим получим

Получаем с точностью до 0,001

Условия признака Лейбница выполнены и поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов:

Итак,

Рассмотрим числовой ряд для которого требуется вычислить сумму S с некоторой точностью . Заменяя S суммой конечного числа членов ряда S_n при этом допускаем погрешность, равную остаточному члену R_n, где

R_n = S - S_n .

Для обеспечения заданной точности вычисления  необходимо потребовать, чтобы  R_n  < .

Рассмотрим сущность метода Куммера. Говорят, что ряд (*) сходится медленно, если для получения его суммы S_n с точностью  нужно взять большое число его членов. Но есть другой ряд сходящийся быстрее данного ряда (*) т.е. есть два сходящихся ряда и причем,

, тогда b_n = o(a_n) при n в этом случае говорят, что ряд сходится быстрее ряда . Сущность метода Куммера и заключается в том, чтобы данный ряд заменить рядом сходящимся быстрее, а именно.