2.2.5. Бесконечно большие функции

Определение. Функция называетсябесконечно большой при если для любогосуществуеттакое, что для любогоудовлетворяющего условиювыполняется неравенство

Аналогично определяются функции, бесконечно большие при стремящемся к бесконечности.

Если функция является бесконечно большой прито она неограниченна в некоторой окрестности точкиОбратное неверно. Например, прифункцияявляется неограниченной, но не является бесконечно большой.

Теорема. Функция является бесконечно большой притогда и только тогда, когда функцияявляется бесконечно малой при

Доказательство.

Следствие. Если функция является бесконечно большой приав проколотой окрестности точкиотделена от нуля, т.е. выполняется неравенството функциятакже является бесконечно большой при

Доказательство. Функция является бесконечно малой приа функцияограниченна в проколотой окрестности точкит.к.Следовательно, прифункцияявляется бесконечно малой, тогда функцияявляется бесконечно большой.

2.2.6. Классификация точек разрыва

Определение. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точкиЕслине является непрерывной в точкетоназываетсяточкой разрыва функции

Таким образом, в точке не выполняется равенствоПри этом различают следующие случаи:

1. Если существует конечный предел а функция в точкене определена, или определена, нотоназывается точкойустранимого разрыва. В этом случае можно определить функцию прикоторая отличается оттолько своим значением в точкено уже является непрерывной в этой точке.

Пример. Функция по свойствам непрерывных в точке функций непрерывна во всех точках, кромеТак как существуеттоточка устранимого разрыва.

2. Если существуют конечные односторонние пределы ито точканазывается точкойразрыва первого рода.

Пример. Функция по свойствам непрерывных в точке функций непрерывна во всех точках, кромеТак как существуют не равные между собой односторонние пределыитоточка разрыва первого рода.

3. Во всех остальных случаях точка называется точкойразрыва второго рода. То есть, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то является точкой разрыва второго рода.

Пример. Функция по свойствам непрерывных в точке функций непрерывна во всех точках, кромеТак кактоявляется точкой разрыва второго рода.

Теорема. Монотонная на отрезке функция может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

Доказательство. Пусть функция не убывает на отрезке(для невозрастающей функции доказательство аналогичное) и разрывна в точкеТак как привыполняется неравенството существуютТогда согласно определению инфимума для любогонайдётсятакой, чтоТогда для всехудовлетворяющих неравенствугдевыполняются неравенствато естьСледовательно,Аналогично доказывается, что существуетиТаким образом, односторонние пределы в точкесуществуют. Предположим, что они равны между собой, тогда в силу неравенствполучаем, чтото есть функциянепрерывна в точкеСледовательно,- точка разрыва первого рода. Теорема доказана.

2.2.7. Непрерывность функции на отрезке

Определение. Функция называетсянепрерывной на отрезке если она непрерывна во всех точках интерваланепрерывна в точкесправа, в точкеслева.

Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции. Если функция непрерывна на отрезкето она ограниченна на этом отрезке, то есть существуеттакое, что для всехвыполняется неравенство

Доказательство. Предположим, что непрерывная на отрезке функцияне является ограниченной на этом отрезке. Это означает, что для любогосуществуеттакой, что для выполняется неравенствоПоложимТогда для любогонайдётсятакой, чтоТак както последовательностьявляется ограниченной и по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательнстьТак както по теореме о предельном переходе под знаком неравенства для последовательностей имеемСледовательно, функциянепрерывна в точке(непрерывна справа, еслинепрерывна слева, если). Значит,последовательностьсходящаяся, следовательно, ограниченная. С другой стороны, для любоговыполняется неравенствоТак както последовательностьявляется неограниченной. Получили противоречие, следовательно,является ограниченной на отрезкеТеорема доказана.

Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной на отрезке функции. Если функция непрерывна на отрезкето на этом отрезке она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуюттакие, что для всехвыполняются неравенство

Доказательство. Так как непрерывна на отрезкето она ограниченна на этом отрезке, следовательно, существуютиДокажем, что найдётся такой, что Действительно, согласно определению инфимума для любогонайдётся такой, что Тогда для любогонайдётся такой, что Так както последовательностьявляется ограниченной и по теореме Больцано-Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательнстьТак както по теореме о предельном переходе под знаком неравенства для последовательностей имеемСледовательно, функциянепрерывна в точке(непрерывна справа, еслинепрерывна слева, если). Значит,Переходя к пределу в неравенствеполучимАналогичным образом доказывается, что найдётся такой, что Тогда для всехвыполняются неравенствоТеорема доказана.

Теорема о переходе через 0 непрерывной на отрезке функции. Если функция непрерывна на отрезкеи на концах отрезка принимает значения разных знаков, то есть,то найдётсятакое, что

Доказательство. Обозначим через отрезок Разделим его пополам. Если в середине отрезка значение равно нулю, то точка в которой значение функции равно нулю, найдена. Иначе для одной из половин на её концах функция принимает значения разных знаков. Обозначим эту половину И так далее, если построен отрезокравный половине отрезкатакой, что на его концах функция принимает значения разных знаков, то делимпополам. Если в середине отрезказначение функции равно нулю, то точка найдена, иначе ту половину, на концах которой функция принимает значения разных знаков, обозначаем Тогда либо на каком-то шаге найдётся точка такая, что либо будет построена система вложенных стягивающихся отрезков обладающая тем свойством, что на концах каждого отрезка функция принимает значения разных знаков. Пусть- общая точка отрезковЕсли то в силу непрерывности функции в точке по теореме о сохранении знака найдется её окрестностьтакая, что для всехзначениетого же знака, что ито есть на всём интервалефункциясохраняет знак. Так както найдётсятакое, чтоТак кактоно на концах отрезкафункцияпринимает значения разных знаков. Получили противоречие, следовательно,Теорема доказана.

Следствие (о промежуточных значениях). Если функция непрерывна на отрезкеи- соответственно её наибольшее и наименьшее значения, то для любогонайдётсятакой, чтото есть функция принимает все значения между наибольшим и наименьшим.

Доказательство. Пусть Если или то утверждение верно. Если то рассмотрим функцию непрерывную на отрезке (или ) и принимающую на его концах значения разных знаков. Тогда найдётся точка (или) такая, чтотогда