1.1.2. Точные грани множества

Определение. Точной верхней гранью (или супремумом) множества называется наименьшая из его верхних граней. Обозначается

Если то, во-первых,является верхней граньюво-вторых, любое числоне является верхней гранью, то есть:

1. Для любого выполняется неравенство

2. Для любого найдетсятакой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

3. Для любого найдетсятакой, что

Определение. Точной нижней гранью (или инфимумом) множества называется наибольшая из его нижних граней. Обозначается

Если то, во-первых,является нижней граньюво-вторых, любое числоне является нижней гранью, то есть:

4. Для любого выполняется неравенство

5. Для любого найдетсятакой, что

Обозначив получим другую запись пункта 2:

2. Для любого найдетсятакой, что

Пример. Множеством верхних граней множества является множествоНаименьшим элементом множестваявляется 3,Множеством нижних граней множестваявляется множествоНаибольшим элементом множестваявляется 2,

Множеством, противоположным множеству называется множество, обозначаемоесостоящее из элементовгде

Суммой множеств называется множество, обозначаемоесостоящее из всевозможных суммгде

Теорема. Если множество имеет супремум, то множествоимеет инфимум и

Доказательство. Обозначим Тогда для любоговыполняется неравенствоТак как для любогонайдётсятакой, чтото для любоговыполняется неравенствоВозьмём произвольноТогда найдётсятакой, чтоа значит,значит, найдётсятакой, чтоТем самым доказано, что

Упражнение. Доказать, что если множество имеет инфимум, то множествоимеет супремум и

Теорема. Если множества имеют супремум, то множествотакже имеет супремум и

Доказательство. Обозначим Произвольноепредставимо в видегдеТогда выполняются неравенстваЗначит,Зададим произвольноТогда найдутсяитакие, чтоТогда для элементавыполняется неравенствоТем самым доказано, что

Следствие. Если множества имеют инфимум, то множествотакже имеет инфимум и

Доказательство. Множества иимеют супремум, при этомТогда их сумма, равнаяимеет супремум,Множествоимеет инфимум,

Разностью двух множеств иназывается сумма множестви

Упражнение. Доказать, что если множество имеет супремум, а множествоимеет инфимум, то множествоимеет супремум, а множествоимеет инфимум. При этом выполняются равенства

1.1.3. Существование точных граней

Лемма о сечениях. Если непустые множества итаковы, чтои для любых двух элементоввыполняется неравенство(т.е.), то либо весть наибольший, либо весть наименьший.

Теорема о существовании точной верхней грани. Если непустое множество ограниченно сверху, то у него существует супремум.

Доказательство. Рассмотрим множество состоящее из верхних граней множества Так как ограниченно сверху, то Пусть - множество чисел, не являющихся верхними гранями множества Тогда Кроме того, для произвольного выполняется неравенство значит то есть Покажем, что Предположим, что это не так, тогда найдутся такие, что (т.к. ). Но так как - верхняя грань, то и - также верхняя грань, т.е. Получили противоречие.

Таким образом, множества иудовлетворяют условию леммы о сечениях, следовательно, весть наибольший или весть наименьший. Предположим, чтоявляется наибольшим элементомТак как- не верхняя грань множествато найдётсятакой, чтоРассмотрим числоТогдане является верхней гранью, т.е.нозначитне является наибольшим вПолучили противоречие. Следовательно, внет наибольшего, значит, весть наименьший элемент, который и является, согласно определению, точной верхней гранью (супремумом) множестваТеорема доказана.

Следствие (существование точной нижней грани). Если непустое множество ограниченно снизу, то у него существует инфимум.

Доказательство. Если непустое множество ограниченно снизу, то непустое множество ограниченно сверху. Тогда существует а значит, существует