Собственный момент импульса

Собственным моментом импульса системы материальных точек называется момент импульса системы относительно точки, совпадающей с ее центром масс.

Найдем связь между моментом импульса системы относительно неподвижной точкии собственным моментом импульса. Пусть положение некоторой- ой точки системы материальных точек относительно точкизадано радиус-вектором

(10)

где – положение точкиотносительно точкиа– положение- ой точки системы относительно центра масс. Запишем уравнение (2) с учетом (10) для каждой точки системы, а затем, просуммировав эти уравнения, получим следующее выражение для момента импульсасистемы относительно точки

, (11)

где – масса- ой точки системы, а– ее скорость относительно неподвижной точки

Первое слагаемое в этом уравнении можно записать в виде (см. раздел “Закон сохранения импульса”)

,

где – масса всей системы материальных точек, а­– скорость центра масс этой системы относительно неподвижной точки

Рассмотрим второе слагаемое в уравнении (11). Учитывая, что

где – скорость- ой точки системы относительно точки получим

.

Второе слагаемое в этом уравнении – это собственный момент импульса системы , а первое равно нулю. Действительно, его можно преобразовать к виду (см. раздел “Закон сохранения импульса”)

.

Откуда следует, что , т.к. радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы относительно точки, равен нулю.

Таким образом, с учетом вышесказанного, уравнение (11) принимает вид

, (12)

где – импульс системы материальных точек относительно точкиИз этого уравнения следует, что если векторыиколлинеарны, то моменты импульсов системы материальных точек относительно неподвижной точкии точкиравны.

Получим уравнение моментов относительно центра масс системы. Продифференцируем уравнение (12) по времени

. (13)

Первое векторное произведение в правой части этого уравнения равно нулю, т.к. вектор коллинеарен вектору. Второе векторное произведение можно переписать в виде

,

где – ускорение центра масс относительно точки

Левую часть уравнения (13) с учетом (1) и (5) преобразуем к виду

.

Таким образом, уравнение (13) принимает вид

,

или

.

Учитывая (10), получаем

(14)

где – момент внешних сил, действующих на систему, относительно центра масс системы,т.е. уравнение моментов относительно центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижного начала.

Вообще говоря, уравнение моментов относительно движущегося начала не совпадающего с центром масс системы материальных точек, имеет вид

(15)

где и– скорости точкии точкиотносительно неподвижного начала отсчета(см., например, Д.В. Сивухин “Механика” том 1). Если движущееся начало совпадает с центром масссистемы, то=, и уравнение (15) переходит в уравнение (5). Надо отметить, что уравнение (15) переходит в уравнение (5) и в том случае, когда векторыиколлинеарны.