1.9. Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнения Лагранжа и Клеро относят к типу дифференциальных уравнений, не разрешённых относительно производной .

Уравнение Лагранжа. Стандартная форма записи уравнения: . Для решения таких уравнений разработан специальный способ – поиск решенияв параметрической форме:

1. Полагают= и записывают исходное уравнение в виде.

2. Дифференцируют выражение по переменной:. Заменяя на, получают:

. (1.24)

3. Если уравнение имеет корни, то функциибудут решениями уравнения (1.24), а прямыерешениями уравнения Лагранжа.

4. Если , то уравнение (1.24) записывают как линейное относительно переменной–=. Найдя его решениеи, составив систему получают решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде.

Пример 1.9.Найти общее решение уравнения Лагранжав параметрической форме.

Решение.1) Запишем уравнение в стандартном виде , где=и = 0. Полагаем=. Перепишем исходное уравнение=.

2) Дифференцируем по переменной. Заменяянаполучим.

3) Уравнение =0 имеет корни = –1 и = 1. Следовательно, функциии, то есть = и =являются решениями исходного уравнения.

4) В случае , учитывая, что=, после простых преобразований уравнение перепишем в виде линейного уравнения относительно=. Откуда.

5) Составим систему – решение уравнения Лагранжа в параметрической форме, из которой легко получить решение в явном виде.

Ответ. или ; .

Задание 1.9. Решить уравнения Лагранжа.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.9.1.		1.9.4.
1.9.2.		1.9.5.
1.9.3.		1.9.6.

Уравнение Клеро. Стандартная форма записи уравнения . Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. Решение его ищут, как и уравнения Лагранжа, в параметрической форме.

Пример 1.10.Решить уравнение Клеро, применяя метод введения параметра.

Решение.1) Полагая=и дифференцируя выражение, получим уравнениеили.

2) Пусть. Тогдаи получаем следующее решение уравнения Клеро в параметрической форме Исключая, найдем решение в явном виде. Это решение задает одно параметрическое семейство прямых.

3) Пусть . В этом случае получаем, что решением является линия Исключая параметр, получим решение в явном виде– парабола. Данная парабола является огибающей семейства(то есть в каждой своей точке касается одной из прямых семейства (см.рис.1.8)) и задаетособоерешение исходного уравнения (решение особое, если через каждую его точку проходит более одного решения дифференциального уравнения).

Ответ., особое решение:.

Задание 1.10. Решить уравнения Клеро.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.10.1.		1.10.4.
1.10.2.		1.10.5.
1.10.3.		1.10.6.

37