1.3. Однородные дифференциальные уравнения

В общем случае однородное дифференциальное уравнение может быть представлено в виде:

, (1.3)

где функции и однородные функции одного порядка. Используя свойства однородных функций, уравнение (1.3) можно переписать в виде .

Однородное уравнение решают с использованием замены , то есть . Вычислим . Подставим и в уравнение (1.3):

. (1.4)

Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и , то остается применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4) с помощью замены , записываем решение исходного уравнения (1.3).

Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. 1) Легко заметить, что в нашем случае = и = − однородные функции 2-го порядка, которое решаем применением замены , то есть .

2) Используя , перепишем уравнение – уравнение с разделяющимися переменными и . Для полученного уравнения выделим очевидные решения =0, то есть и .

3) После этого запишем уравнение в виде = , которое легко интегрируется = , или , или . Учитывая, что − произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде .

4) Учитывая что , запишем общее решение уравнения . При =0 из общего решения получаем также решение .

Ответ. ; =0.

Задание 1.3. Решить однородное уравнение.

Вар.	Уравнение:	Вар.	Уравнение:
1.3.1.		1.3.16.
1.3.2.		1.3.17.
1.3.3.		1.3.18.
1.3.4.		1.3.19.
1.3.5.		1.3.20.
1.3.6.		1.3.21.
1.3.7.		1.3.22.
1.3.8.		1.3.23.
1.3.9.		1.3.24.
1.3.10.		1.3.25.
1.3.11.		1.3.26.
1.3.12.		1.3.27.
1.3.13.		1.3.28.
1.3.14.		1.3.29.
1.3.15.		1.3.30.

1.4. Линейные дифференциальные уравнения

Заданное дифференциальное уравнение называют линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в 1-ой степени:

.

Рассмотрим решение уравнения, записанного в виде применением подстановки (метод Бернулли) , где и .

Для функции вычислим производную и вместе с выражением подставим в заданное уравнение:

. (1.5)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию . Это уравнение с разделяющимися переменными. Нам нужно одно частное решение уравнения. Разделим переменные и проинтегрируем , или . Подставив в (1.5), получим для нахождения уравнение с разделяющимися переменными . Последнее легко интегрируется + .

Остаётся записать общее решение заданного уравнения = , из которого для заданных начальных условий выделяют частное решение.

Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение . Найти его частное решение при условии .

Решение. 1) Заданное уравнение линейное относительно и , причём и .

2) Применяя подстановку , перепишем заданное уравнение = .

3) Потребуем, чтобы . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его частное решение = , или = .

4) Теперь, интегрируя уравнение: , получаем = + = + .

5) Записываем общее решение заданного уравнения = · .

6) Используя начальные условия (задача Коши), находим =1 и записываем частное решение уравнения = · .

Ответ. = · – общее решение, = · – частное решение.

Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий.

Вар.	Уравнение и начальные условия:	Вар.	Уравнение и начальные условия:
1.4.1.	, .	1.4.16.	, .
1.4.2.	, .	1.4.17.	, .
1.4.3.	, .	1.4.18.	, .
1.4.4.	, .	1.4.19.	, .
1.4.5.	, .	1.4.20.	, .
1.4.6.	, .	1.4.21.	, .
1.4.7.	, .	1.4.22.	, .
1.4.8.	, .	1.4.23.	, .
1.4.9.	, .	1.4.24.	, .
1.4.10.	, .	1.4.25.	, .
1.4.11.	, .	1.4.26.	, .
1.4.12.	, .	1.4.27.	, .
1.4.13.	, .	1.4.28.	, .
1.4.14.	, .	1.4.29.	, .
1.4.15.	, .	1.4.30.	, .