1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для решения задач физики и химии

Для составления дифференциального уравнения – математической модели физической (химической) задачи – часто применяют следующие способы:

1) записывают условие на производную искомой величины, используя известные законы физики и физический смысл производной;

2) определяют, какая из величин будет независимой переменной (обозначим её x), а какая зависимой (обозначим еёy); затем, используя соотношения между нужными величинами при постоянных значениях параметров, находят линейное приближение для приращениякогда независимая переменная получила приращение; разделивнаи переходя к пределу при, получают дифференциальное уравнение.

Для правильного составления уравнений требуется знание физических законов (первый и второй законы Ньютона, законы Кирхгофа для цепи переменного тока, закон Ньютона для скорости изменения температуры тела (см. указание 3 к заданию 1.8 и некоторые другие) в рамках стандартного курса общей физики по разделам: механика, термодинамика и молекулярная физика, электричество и магнетизм.

Справочный материал

Закон гравитации. Сила притяжения двух точечных (или сферически симметричных) масси, находящихся на расстояниидруг от друга:

,

где (в системе СИ) – гравитационная постоянная.

Уравнение состояния идеального газа

,

где – давление,– объём,– абсолютная температура,– молярная масса,– универсальная газовая постоянная.

Закон Кулона. Сила взаимодействия двух точечных (или сферически симметричных) зарядови, находящихся на расстояниидруг от друга:

,

где (в системе СИ) – постоянная закона Кулона. Также постояннуюзаписывают в виде, где– электрическая постоянная.

Сила, действующая на точечный заряд в электрическом поле

,

где – напряжённость электрического поля в точке, где расположен заряд.

Закон Ома связывает силу тока, протекающего через проводник сопротивлением, и напряжение (разность потенциалов)на концах этого проводника

.

Электрический конденсатор (ёмкость)

,

где – ёмкость конденсатора,– заряд конденсатора,– напряжение между обкладками конденсатора.

Потенциальная энергия конденсатора

.

Плоский конденсатор

,

где – площадь каждой пластины (обкладки) конденсатора,– расстояние между пластинами,– диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Напряжённость электрического поля между пластинами плоского конденсатора

.

Сила притяжения пластин плоского конденсатора между собой

,

где – заряд конденсатора,– напряжённость электрического поля в конденсаторе.

Механический момент, действующий на электрический диполь в однородном электрическом поле

,

где – вектор дипольного момента,– модуль зарядов диполя,– вектор, направленный из точки зарядомв точку с зарядом.

Пример 1.8.Чаша в форме параболоида вращения в начальный момент заполнена водой. В самой нижней части чаши имеется отверстие радиуса, через которое вытекает вода (рис.1.5). Найти зависимостьуровня воды в чаше от времени, если высота чаши, радиус верхнего края. За какой промежуток временииз чаши вытечет вся вода?

Решение.Зависимость между уровнемводы в чаше и радиусомгоризонтальной поверхности воды имеет вид

.

Пусть за промежуток времени уровень воды изменится на(рис.1.5), тогда изменение объёма воды в чаше

. (1.15)

С другой стороны, это изменение равно

, (1.16)

где – скорость истечения воды из отверстия (см. Указание 1 к решению задач).

Приравнивая (1.15) и (1.16) и переходя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

. (1.17)

После разделения переменных в (1.17) и интегрирования, имеем:

(1.18)

Найдём константу из начальных условий. Так как, топоэтому (1.18) примет вид

. (1.19)

Выражая из (1.19), получим искомую зависимость:

.

Поскольку , то из (1.19) найдём время, за которое вытечет вся вода:

.

Задание 1.8. Решить задачи.

Указание 1. В задачах 1.8.13-1.8.20 принять, что жидкость с учётом вязкости вытекает из сосуда со скоростью, где– высота уровня воды над отверстием.

Указание 2:В задачах 1.8.27, 1.8.29, Д3 – Д5, Д8, Д9 производные(или) следует выразить как производные сложной функции(или) черези(или черези).

Указание 3.В задачах 1.8.6, 1.8.7 считать, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разности между температурой окружающей среды и температурой этого тела.

8. Пуля массой летящая со скоростью = 200 м/c, пробивает доску за. Найти скорость пулипосле вылета из доски, если внутри доски сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости пули с коэффициентом. Найти также толщину доски.

2. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки = 1,5 м/с, черезс скорость ее стала = 1 м/с. В какой моментвремени после начала торможения скорость лодки будет равна = 1 см/с? Какой путьможет пройти лодка до полной остановки?

3. В сосуде объемом  л в начальный момент содержался воздух с объёмной долей азота. В течение последующего времени в сосуд втекалол азота за секунду, который непрерывно перемешивался, и вытекало такое же количество смеси. Найти зависимость объёмной долиазота в сосуде от времени. Через какое времяобъёмная доля азота в сосуде стала равной?

4. В баке в начальный момент находилось л раствора, содержащегокг соли. В течение последующего времени в бак непрерывно подавалась вода со скоростью л/мин, которая перемешивалась с имеющимся раствором, при этом смесь вытекала с той же скоростью. Найти зависимость массы солив баке от времени. Какая масса солиоставалась в баке через мин?

5. Первоначальная объёмная доля углекислого газа в воздухе комнаты объемомм³ была равна 0,15%. В последующее время вентиляция подавала в минутум³воздуха с объёмной долейуглекислого газа. Найти зависимость объёмной долиуглекислого газа в воздухе комнаты от времени. Через какое времяколичество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшилось втрое?

6. Тело охладилось за мин отС доС. Температура окружающего воздуха поддерживается равнойС. Найти зависимость температуры телаот времени. К какому моменту временитело остынет доС?

7. Кусок метала с температурой градусов помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается отдоградусов. При разности температур печи и металла, равнойградусов, металл нагревается со скоростьюградусов в минуту. Найти зависимость температуры металла от времени. Найти температуруметалла через 1 час.

8. За первый день распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Найти зависимость количества нераспавшегося радиоактивного вещества от времени, если вначале оно было равно. Через какой промежуток времениостанется 1% от первоначального количества?

9. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной  см поглощает половину падающего на него света. Найти зависимость количества (интенсивности) света, прошедшего сквозь слой воды, от толщиныэтого слоя, если на слой воды падает свет интенсивности. Какую частьсвета поглотит слой толщиной в м?

10. Парашютист, совершая затяжной прыжок, раскрыл парашют в момент, когда его скорость составляла половину от предельной скоростипадения человека в воздухе нормальной плотности. Найти зависимость скорости парашютиста от времени с начала прыжка, считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В какой моментвремени от начала прыжка он раскрыл парашют?

11. Футбольный мяч массой  кг брошен вверх со скоростью. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости с коэффициентом. Найти зависимостьскорости мяча от времени. Вычислить времяподъёма мяча на наибольшую высоту.

12. Футбольный мяч массой кг падает с некоторой высоты без начальной скорости. Найти зависимость скорости мяча от времени падения, считая, что сопротивление воздуха пропорционально скорости мяча с коэффициентом. Вычислить скоростьмяча послепадения.

13. Из наполненного изначально доверху цилиндрического бака с радиусом м и высотой м через отверстие в дне радиусомсм вытекает вода. Найти зависимостьуровня воды в баке от времени. За какой промежутоквремени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

14. Из полного цилиндрического бака высотой через отверстие в дне половина воды вытекает за=5 мин. Найти зависимостьуровня воды в баке от времени. За какой промежутоквремени вытечет вся вода? Ось цилиндра вертикальна.

15. В прямоугольный бак длиной см, ширинойсм и высотойсм поступает вода со скоростью л/с. В дне имеется отверстие площадьюсм². Найти зависимость между временем наполнения бака и уровнем водыв нём. За какое времянаполняется весь бак?

16. В начальный момент воронка в форме конуса радиусом см и высотой см, обращенного вершиной вниз, доверху наполнена водой. В вершине конуса имеется отверстие радиусомсм, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем водыв воронке. За какое времяиз воронки вытечет вся вода?

17. В начальный момент бак в форме конуса радиусом  см и высотой см вершиной вверх заполнен водой. В основании конуса имеется отверстие радиусомсм, через которое вытекает вода. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем водыв баке. За какое времяиз бака вытечет вся вода?

18. Бак имеет форму клина ребром вниз, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота, длина основания торца равна, в нижнем ребре клина сделано отверстие площадью, через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем водыв баке. За какое времяиз бака вытечет вся вода?

19. Бак имеет форму клина ребром вверх, торцевые стенки которого перпендикулярны боковым. Длина клина равна , высота –, длина основания торца равна, в нижнем основании бака сделано отверстие площадью, через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем водыв баке. За какое времяиз бака вытечет вся вода?

20. Бак имеет форму шара радиусом , в самой нижней части бака сделано отверстие площадью, через которое может вытекать вода. В начальный момент бак заполнен водой. Найти зависимость между временем, прошедшим с начального момента, и уровнем водыв баке. За какое времяиз бака вытечет вся вода?

21. Незаряженный в момент конденсатор ёмкостьюпоследовательно с сопротивлениемвключается в цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 доза промежуток времени отдо. Найти зарядна конденсаторе в момент времени.

22. Катушка с индуктивностью включается последовательно с сопротивлениемв цепь с источником, напряжение на котором линейно возрастает от 0 доза промежуток времени отдо. В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти токв катушке в момент времени.

23. Найти атмосферное давление на высоте , если на поверхности земли давление равнои плотность воздуха. Использовать закон Бойля – Мариотта, в соответствии с которым плотность пропорциональна давлению (пренебречь изменением температуры воздуха при изменении высоты).

24. Незаряженный конденсатор ёмкостью включается в цепь с напряжениеми сопротивлением. Определить зарядна конденсаторе в момент времени.

25. Катушка с индуктивностью включается последовательно с сопротивлениемв цепь с напряжением. В момент замыкания цепи ток в ней равен нулю. Найти токв катушке в момент времени.

26. Напряжение между обкладками плоского конденсатора линейно возрастает за 1 с от до. В начальный момент от одной из обкладок отрывается пылинка массойс зарядоми начинает двигаться к другой обкладке, испытывая сопротивление со стороны воздуха, заполняющего пространство между обкладками, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом. Найти зависимость скорости пылинки от времени. Расстояние между обкладками равно, краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.

27. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты (над поверхностью Земли). Найти зависимость скоростиметеорита от расстояния, пройденного им, при условии отсутствия земной атмосферы. Радиус Земли, ускорение свободного падения на поверхности Земли.

28. Катушка с индуктивностью включается последовательно с резистором переменного сопротивления в цепь с источником постоянного напряжения величиной. До моментапо цепи протекал постоянный ток, а сопротивление резистора было равно. С моментадосопротивление резистора уменьшается обратно пропорционально времени. Найти токв катушке в момент времени.

29. Футбольный мяч, летящий горизонтально, ударяется о вертикальную стенку, при этом максимальная глубина его вмятины при деформации во время удара составляет , где– радиус мяча. Найти зависимость скоростимяча от глубины вмятиныво время удара о стену. Зависимостью давлениявнутри мяча от глубины вмятины пренебречь; также считать, что части поверхности мяча, не соприкасающиеся со стеной, не деформируются. Найти скорость, с которой летел мяч до удара, если масса мячакг, его радиусм, разность между давлениями внутри и снаружи мячаПа,.

30. Плоский конденсатор, одна из обкладок которого неподвижна, а другая удаляется от неё со скоростью , подключён к источнику постоянного напряжения. В момент, когда расстояние между обкладками было равно, от неподвижной обкладки оторвалась пылинка массойс зарядоми начала двигаться к другой обкладке. Найти зависимость скорости пылинки от времени, прошедшего с момента отрыва. Сопротивлением воздуха, краевыми эффектами и силой тяжести пренебречь.