
- •1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •1.1. Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Однородные дифференциальные уравнения
- •1.4. Линейные дифференциальные уравнения
- •1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
- •1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •1.7. Нахождение уравнений кривых с помощью дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •1.8. Применение дифференциальных уравнений 1-го порядка для решения задач физики и химии
- •Справочный материал
- •1.8.1. Дополнительные задачи.
- •1.9. Уравнения Лагранжа и Клеро
1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
1.1. Дифференциальные уравнения семейства кривых
Пусть задано
семейство кривых:
,
где
- параметр. Необходимо составить
дифференциальное уравнение, решением
которого является это семейство.
Общая схема решения этой задачи:
1) Равенство
определяет неявную функцию
.
Тогда на некотором промежутке справедливо
тождество:
.
Дифференцируя это тождество по переменной
,
получим:
=
=
=0.
2) Запишем систему
Исключив параметр
из этой системы, получим дифференциальное
уравнение, решением которого является
семейство кривых:
.
Пример 1.1.Имеем
семейство кривых:.
Необходимо построить дифференциальное
уравнение, для которого данное семейство
кривых является решением.
Решение: 1)
Считая, что выражение
определяет неявную функцию
,продифференцируем это выражение по
независимой переменной
.
Имеем
.
2) Запишем систему
Для исключения из системы параметра
умножим первое уравнение на
и
приравняем левые части первого и второго
равенств. Получим дифференциальное
уравнение
,
или
,
решением которого является заданное
семейство кривых.
Ответ..
Задание 1.1. Составить дифференциальное уравнение для семейства кривых.
Вар. |
Семейство: |
Вар. |
Семейство: |
1.1.1. |
|
1.1.16. |
|
1.1.2. |
|
1.1.17. |
|
1.1.3. |
|
1.1.18. |
|
1.1.4. |
|
1.1.19. |
|
1.1.5. |
|
1.1.20. |
|
1.1.6. |
|
1.1.21. |
|
1.1.7. |
|
1.1.22. |
|
1.1.8. |
|
1.1.23. |
|
1.1.9. |
|
1.1.24. |
|
1.1.10. |
|
1.1.25. |
|
1.1.11. |
|
1.1.26. |
|
1.1.12. |
|
1.1.27. |
|
1.1.13. |
|
1.1.28. |
|
1.1.14. |
|
1.1.29. |
|
1.1.15. |
|
1.1.30. |
|
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Известно, что в общем случае дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть представлено в виде:
.
(1.1)
Для интегрирования
уравнения переменные
и
должны быть разделены. Для этого требуется
разделить равенство (1.1) на произведение
.
В результате получим:
. (1.2)
Интегрируя (1.2),
находим общее решение исходного уравнения
(1.1) в виде выражения: .
Для перехода к
записи (1.2) выполнялось деление на
функции:
и
.
Если возможны равенства
и
,
необходимо функции
и
учесть как решения исходного уравнения.
Пример 1.2.Решить дифференциальное уравнение.
Решение.1)
Заданное уравнение есть уравнение с
разделяющимися переменными, гдеи
.
Так как
и
,
то функции
и
необходимо учесть как решения исходного
уравнения.
2)
Теперь считаем, что
.
Разделив заданное уравнение на
,
получим уравнение
с разделенными переменными.
3) В
результате
интегрирования находим общее решение
уравнения в виде
или
.
Учитывая, что
− произвольная постоянная величина,
запишем общее решение в виде
.
При
=0
из общего решения получаем также решение
.
Ответ.;
.
Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.2.1. |
|
1.2.16. |
|
1.2.2. |
|
1.2.17. |
|
1.2.3. |
|
1.2.18. |
|
1.2.4. |
|
1.2.19. |
|
1.2.5. |
|
1.2.20. |
|
1.2.6. |
|
1.2.21. |
|
1.2.7. |
|
1.2.22. |
|
1.2.8. |
|
1.2.23. |
|
1.2.9. |
|
1.2.24. |
|
1.2.10. |
|
1.2.25. |
|
1.2.11. |
|
1.2.26. |
|
1.2.12. |
|
1.2.27. |
|
1.2.13. |
|
1.2.28. |
|
1.2.14. |
|
1.2.29. |
|
1.2.15. |
|
1.2.30. |
|