2. Линейные дифференциальные уравнения

2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Пусть задано однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами,и необходимо найти его общее решение.

Приведем алгоритм решения этой задачи:

1) Ищем фундаментальные решения уравнения в виде функций . Подставляяи её производныеив заданное уравнение, получаем, что числадолжны быть корнями характеристического уравнения.

2). Находим корни характеристического уравнения ,и строим фундаментальную систему решений (ФСР):

а) если ,− действительные различные, ФСР образуют функциии;

б) если ,− действительные и равные, ФСР образуют функциии;

в) если − комплексно сопряжённые, ФСР образуют функциии.

3). Имея ФСР, записываем общее решение заданного уравнения , гдепроизвольные постоянные.

Если необходимо решить задачу Коши, то есть найти функцию , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет заданным начальным условиям, то подставляя условия,в выраженияи, получаем систему линейных уравнений относительнодля нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Решая её, находим решение задачи Коши.

Пример 2.1: Решить задачу Коши:,. Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение.1) По заданному дифференциальному уравнению составляем характеристическое уравнение.

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) Имея характеристические корни, составим ФСР =,=.

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения .

5) Из общего решения находим

.

6) Используя полученные выражения и, для заданных начальных условий получим системуиз которой,.

7) Запишем частное решение (решение задачи Коши) .

Ответ.Общее решение:,частное решение:.

Пример 2.2.Решить задачу Коши, если. Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение.1) Составляем характеристическое уравнение.

2) Найдём корни характеристического уравнения –, то есть имеем кратные корни.

3) Составляем ФСР =,=x·= x·.

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения =·+·=·+·.

5) Найдем .

6) Из системы , находим,.

6) Записываем частное решение , удовлетворяющее начальным условиям.

Ответ.Общеерешение=·+·,частноерешение.

Задание 2.1. Решить задачу Коши для уравнений.

Вар.	Уравнение	Начальные условия
2.1.1	;	.
2.1.2.	;	.
2.1.3.	;	.
2.1.4.	;	.
2.1.5.	;	.
2.1.6.	;	.
2.1.7.	;	.
2.1.8.	;	.
2.1.9.	;	.
2.1.10.	;	.
2.1.11.	;	.
2.1.12.	;	.
2.1.13.	;	.
2.1.14.	;	.
2.1.15.	;	.
2.1.16.	;	.
2.1.17.	;	.
2.1.18.	;	.
2.1.19.	;	.
2.1.20.	;	.
2.1.21.	;	.
2.1.22.	;	.
2.1.23.	;	.
2.1.24.	;	.
2.1.25.	;	.
2.1.26.	;	.
2.1.27.	;	.
2.1.28.	;	.
2.1.29.	;	.
2.1.30.	;	.