Теоретические обоснования

В дискретной математике довольно часто встречаются утверждения, зависящие от целочисленных параметров. Во многих случаях их удается доказать методом математической индукции. Этот метод основан на принципе математической индукции, который состоит в следующем.

Пусть - некоторое утверждение, зависящее от натурального параметра. Это утверждение считается справедливым для всех значений, начиная с некоторого значения, если выполняются следующие условия:

1) утверждение справедливо для;

2) из предположения, что справедливо при(- любое натуральное число, большее или равное) следует, что оно справедливо и при.

Доказательство справедливости утверждения методом математической индукции включает два этапа.

1) базис индукции, состоящий в проверке справедливости утверждениядля некоторого начального значения(обычно, но это не обязательно);

2) индуктивный переход, состоящий в том, что, полагая справедливым утверждение(), доказывают справедливость утверждения.

Пример 10.Доказать методом математической индукции формулу бинома Ньютона

.

◄ 1. Базис индукции. Приимеем. Поскольку, формула верна.

2. Индуктивный переход. Докажем, что из предположения о том, что верно равенство

,

следует, что верно равенство

,

полученное из формулы бинома Ньютона заменой на.

В самом деле, имеем

(при переходе, помеченном (), были использованы тождествои равенства,,,).

Таким образом, формула бинома Ньютона справедлива для любого . ►

Приведенная формулировка принципа математической индукции допускает равносильные варианты. В некоторых случаях мы будем использовать вариант, в котором индуктивный переход состоит в предположении справедливости утверждения дляи доказательстве его справедливости для.

Для доказательства комбинаторных соотношений также пользуются аппаратом математического анализа. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 11. Доказать, что при любом натуральномвыполняется равенство

.

◄ Воспользуемся тем, что при всех действительных значениях выполняется равенство. Заменимиих биномиальными разложениями:

.

Поскольку мы имеем тождество относительно , коэффициенты при одинаковых степеняхв обеих его частях должны быть одинаковыми. Рассмотрим коэффициенты при. В левой части интересующий нас коэффициент равен. Чтобы понять, чему равен коэффициент прив правой части, перепишем ее, изменив порядок слагаемых во втором множителе:

.

Теперь видно, что слагаемые, содержащие , получаются при перемножении друг на друга первых, вторых, третьих и т.д. слагаемых, стоящих в скобках. Следовательно, верно равенство

.

Учитывая, что , окончательно получаем:

.►

Задачи повышенной сложности

1.11. Сколько имеется четных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых все числа различны?

1.12. Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых встречается цифра5?

1.13. Сколько различных каруселей можно сделать, расположив по окружности фигурки десяти зверей (карусели считаются одинаковыми, если фигурки идут друг за другом в одинаковом порядке)?

1.14.а) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «физика»?

б) Сколько разных восьмибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «черчение»?

1.15. Сколькими способами можно разложить по8занумерованным коробкам трех синих и пяти красных шаров так, чтобы в каждой коробке оказалось ровно по одному шару?

1.16. Доказать, что число упорядоченных разбиений -элементного множества наподмножеств, первое из которых содержитэлемент, второе -элемента, …,-е -элементов, равно.

1.17.а) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке убывания?

б) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых каждая следующая цифра меньше либо равна предыдущей?

1.18. В студенческой группе учатся9девушек и11юношей. Сколькими способами можно сформировать команду из7человек для участия в соревнованиях, если в нее должно войти не менее3юношей?

1.19. а) В классе учатся18человек. Сколькими способами можно составить график дежурств по классу на6дней так, чтобы каждый день дежурили по3человека, причем никто не дежурил дважды?

б) В классе учатся 18человек. Сколькими способами можно разбить его учеников на6групп?

1.20. а) Сколькими способами можно разложить8одинаковых шаров по3занумерованным коробкам так, чтобы ни одна из коробок не осталась пустой?

б) Сколькими способами можно разложить 8одинаковых шаров по3занумерованным коробкам?

1.21. а) Сколькими способами можно представить числов виде упорядоченной суммыположительных целых чисел?

б) Сколькими способами можно представить число в виде упорядоченной суммынеотрицательных целых чисел?

1.22.Вывести формулудля числа сочетаний с повторениями изэлементов по.

1.23.а) Сколько существует рефлексивных бинарных соотношений на множестве изэлементов?

б) Сколько существует симметричных бинарных соотношений на множестве из элементов?

в) Сколько существует антисимметричных бинарных соотношений на множестве из элементов?

1.24.Используя бином Ньютона, доказать тождества:

а) ;

б) ;

в) (- четно);

г) (- четно);

д) (- нечетно);

е) (- нечетно).

1.25. Найти такое число, при котором число сочетаний изэлементов понаибольшее, при условии, что:

а) - четное число; б)- нечетное число.